§2.8 三次样条插值.pptVIP

第八节 三次样条插值 三次样条插值 误差估计与收敛性(返回) * ? 2009, Henan Polytechnic University * §8 三次样条插值 第二章 插值法 * 实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。 三次样条的产生和背景 1.问题的产生 显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。 2.样条的概念(Spline) 样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。 2.8.1 三次样条函数 定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0x1…xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： S(xi )=yi (i=0,1,…,n); 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式; (3) 在每个内节点xi (i=1,2,...,n-1)上具有二阶连续导数, 则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样条 函数，简称三次样条。 S(x)在每个小区间[xi , xi+1]上是一个次数不超过3的多项式, 因此需确定四个待定常数, 一共有n个小区间,故应确定4n个系数, S(x)在n-1个内节点上具有二阶连续导数，应满足条件 即有3n-3个连续条件，再加上S(x) 满足的插值条件n+1个，共计4n-2个，因此还需要2个条件才能确定S(x)，通常补充两个边界条件( ) 常用的三种边界条件 1°（转角条件）已知两端的一阶导数值，即： 2°（弯矩条件）已知两端的二阶导数值，即： 3°（周期条件）当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即 周期样条 称为自然边界条件 2.8.2 三转角方程 用分段埃尔米特插值，得到S(x)在 上S(x)的表达式为 设 为参数，这种通过确 定mi 来求S(x)的方法叫三转角法。 hj=xj+1-xj 对S(x)求二阶导数得： 于是 同理可得S(x)在区间[xj-1 , xj]上的二阶导数： 于是 由条件 可得 进一步简化为 其中： 结合三种边界条件有如下三种情况： 1、已知 则方程组化为： 结合 如果是自然边界条件： 由 可得 由 可得 2、已知 结合 得矩阵形式为： 3、已知 则有： 进一步简化为 其中： 结合 可得： 2.8.3 三弯矩方程 Mi来求S(x)的方法称为三弯矩法。 为参数,这种通过确定 设 1.条件 2.求解S(x)的思路 1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系 2）求出中间节点上的一阶导数值 1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系 由于S(x)在区间[xj ,xj+1]上是三次多项式， 对S〃(x)积分两次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1 ,可定出积分常数，于是得 在[xi , xi+1]上是一次多项式, 且可表示为 下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导数值 2)求出内部节点上的一阶导数值 只有利用一阶导数连续的条件 对S(x)求导得 由此可得 类似地可求出S(x)在区间[xj-1,xj]上的表达式，从而得 利用 其中 而 由公式 1. 边界条件为 得 即 从中解出Mi (i=0,1,...,n) 得三次样条S(x). 从中解出Mi(i=1,2,...,n-1)得 三次样条S(x)。 2、边界条件为 已知 3、周期函数 M0 =Mn 整理得 其中 从中解出Mi(i=1,2,...,n),得三次样条S(x). x -1.5 0 1 2 y 0.125 -1 1 9