§12.9 正态分布.doc

第十二章　统计与概率．正态分布 (1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为 f(x)＝e－，xR(其中μ，σ为参数，且σ0，－∞μ＋∞)． (2)正态曲线的性质： 曲线在x轴的，x轴不相交； ②曲线是单峰的，并且关于直线对称； 曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐，呈现“中间高，两边低”的形态； x轴之间的面积为______； ⑤当σ?一定时，曲线随着??的变化而沿x轴平移； ⑥当??一定时，曲线的形状由参数σ确定，σ，曲线越“矮胖”；σ，曲线越“高瘦” (3)正态分布：如果对于任意实数a＜b，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布；随机变量X服从参数??、??的正态分布，记作N～(??，??2)． (4)正态分布的三个常用数据： ①P(μ－σXμ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σXμ＋2σ)＝； P(μ－3σXμ＋3σ)＝. 参考答案：1．(2)上方，x＝μ；x＝μ，降低越大，越小；()②95.4%；99.7%. 【基础训练】 若随机变量X～N(2，σ2) (σ0)，则P(X≤2)＝________. 答案 　 设随机变量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(0≤X≤2)的值是________． 答案 0.4　3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 答案C　 4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 答案 C　 5．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　) A．10与8 B．10与2C．8与10D．2与10 答案B　 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为. (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． 解析　(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4， 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4) ＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826. 规律方法 变式练习1： 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示． (1)求总体随机变量的期望和方差； (2)求成绩X位于区间(52,68]的概率． 解　(1)从给出的密度曲线图可知， 该正态曲线关于x＝60对称，最大值为， ∴μ＝60，＝，解得σ＝4. ∴f(x)＝e，x∈[0,100]， ∴总体随机变量的期望是μ＝60，方差是σ2＝16. (2)成绩X位于区间(52,68]的概率为P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954 4. 设X～N(1,22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)． 解　∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.683. (2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1) ∴P(3X≤5)＝[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝×(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝[1－P(－3X≤5)]＝[1－P(1－4X≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σX≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954)＝0.023. 规律方法　关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σX≤μ＋σ)(μ－2σX≤μ＋2σ)(μ－3σX≤μ＋3σ)的值；②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (1)设随机变量X服从正态分布N(2P(Xc＋1)＝(Xc－1)则c等于(　　) 解析　∵μ＝2由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称于是＝2＝2. 答案　 (2)已知随机变量X服从正态分布N(2)，且P(X4)＝0.8则P(0X2)＝(　　) 解析　由P(X4)＝0.8 得P(X≥4)＝0.2 由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2 ∴P(0X4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6 ∴P(0X2)＝(0X4)＝0.3. 答案　C 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分． (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率； (2)若这次考试共有2 000名