概率论多维随机变量1.pptVIP

* 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 一、条件分布的概念 §3.2 条件分布与随机变量的独立性 本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的 条件概率分布的概念. 例如，考察某大学的全体学生,分别以X和Y表示 其体重和身高，则X和Y都是随机变量，具有一定的 概率分布。 现在若限制 (米)，在这个条件 下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中 把身高在 1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来,然后在 挑出的学生中求其体重的分布.可见，这个分布与不加 条件时的分布是不相同的。 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 一般地， 设 是一个随机变量， 其分布函数为 若另外有一事件 已经发生， 并且 的发生可能会对 事件 发生的概率产生影响， 则对任一给定的实数 记 并称 为在 发生的条件下， 的条件分布 函数. 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 例1 设 服从[0,1]上的均匀分布, 求在已知 的条件下 的条件分布函数. 1、离散型随机变量的条件分布 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 设（X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为： （X,Y）关于X和Y的边缘分布律分别为： 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 不难验证以上两式均满足分布律的基本性质． 设 ，由条件概率公式可得 上式称为在 条件下随机变量X的条件分布律 同样地，若 上式称为在 条件下随机变量Y的条件分布律 把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 2、连续型随机变量的条件密度 设(X,Y)的密度函数为 和 分 别是关于X和Y的边缘密度函数， 若 则 称为在 条件下X的分布函数，记为 故在 条件下X的条件密度函数，记为 类似的，可定义 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 二、随机变量的独立性 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 定义1 设 (X,Y)为二维随机向量，对于任意的 实数x,y，有 则称随机变量X,Y相互独立 [注]：X,Y相互独立等价于 例 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 判断X与Y是否独立？ 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 定理1 随机变量 与 相互独立的充要条件是 的生成的任何事件与 生成的任何事件独立, 对任意实数集 有 即, 定理2 如果随机变量 与 相互独立， 则对任意 函数 均有 相互 独立. 1、离散型随机变量的独立性 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 定义2 若离散型随机变量 的可能取值为 并且对任意的 和 ,事件 与 相互独立,即 则 与 相互独立. 例1 设二维随机变量 的联合分布律为: 1 2 3 1 2 且 与 相互独立,试求 和 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 例2 设随机变量 与 相互独立,下表列出了二维 填入表中的空白处. 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值 随机变量 联合分布律及关于 和关于 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 2、连续型随机变量的独立性 概率论与数理统计 §3.2 条件分布及随机变量的独立性 定义3 设二维连续型随机变量 的联合概 则 和 相互独立. 关于 和 的边缘概率密度分 率密度为 如果对任意实数 和 和 别为 有 注：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去 面积为0的集合外，处处成立.