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概率论与数理统计 苏敏邦 第7章 参数估计 7.1 点估计 7.2 极大似然估计 7.3 估计量的评价标准 7.4 置信区间 7.5 单正态总体的置信区间 7.6 双正态总体的区间估计 7.3 估计量的评价标准 引言 评价标准 7.3.1 无偏性 无偏估计 定理7.1 7.3.2 有效性 有效性 例7.11 7.3.3 相合性 相合估计量 例7.12 小结 7.3.1 无偏性 7.3.1 无偏性 7.3.1 无偏性 7.3.1 无偏性 7.3.1 无偏性 7.3.2 有效性 7.3.3 相合性 7.3.3 相合性 7.3.3 相合性 小结 作业 第126页 8－9 * 7.3 估计量的评价标准 在介绍估计量评选标准之前，我们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数，是随机变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性 . 常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性 3．相合性 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 所以无偏估计以方差小者为好, 反映了取值“集中”于参数真实值的程度。 A B 的抽样分布 的抽样分布 f ( ) * 定义7.2设总体的分布参数为，．简记为是的一个估计(注意! 它是一个统计量，是随机变量．对于样本的不同取值，取不同的值)．如果的均值等于，即对一切可能的成立，则称为的无偏估计． 说明：无偏性的意义是：用估计量估计参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于． “一切可能的 ”是指：在参数估计问题中，参数一切可能的取值． 我们之所以要求对一切可能的都成立，是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数的真实取值．自然要求它在参数的一切可能取值的范围内都成立． 定理7.1设总体 X 的均值为，方差为，为来自总X的随机样本，记与分别为样本均值与样本方差，即 ，， 则 （1）样本均值是总体均值的无偏估计； （2）样本方差是总体方差的无偏估计． 证明：因为独立同分布，且, 所以 ； 另一方面，因 注意到 ， ． 于是有 定义7.3 设=和=都是参数的无偏估计量，若，则称较有效． 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若和都是参数的无偏估计量，我们可以比较和的大小来决定二者谁更优. 例7.11 设总体的一个样本为，，（=1,2，…，）均为总体均值的无偏估计量，问哪一个估计量更有效？ 解：由于，（=1,2，…，），所以，（=1,2，…，）均为总体均值的无偏估计量，但 例7.11 设总体的一个样本为，，（=1,2，…，）均为总体均值的无偏估计量，问哪一个估计量更有效？ 解：由于，（=1,2，…，），所以，（=1,2，…，）均为总体均值的无偏估计量，但 （=1,2，…，） 显然，较更有效． 无偏性与有效性都是在样本容量固定时给出的，但我们还希望当样本容量无限增大时，一个估计量的值趋向于待估参数的真值，由此我们引入评价估计量的第三个标准——相合性． 定义7.4设是参数的估计量，若设已概率收敛于，即对任意的0，有 或 则称是的相合估计量． 例7.12 设总体的一个样本为，且存在，=1,2，…，，则样本阶矩为总体阶矩的相合估计量． 证明：对于给定的，令 ，， 由大数定律知，对于任意的0，有 证明：对于给定的，令 ，， 由大数定律知，对于任意的0，有 即= 因此样本阶矩为总体阶矩的相合估计量． 估计量的评价准则 1. 无偏性 如果的均值等于，即对一切可能的成立，则称为的无偏估计。 2. 有效性 设=和=都是参数的无偏估计量，若，则称较有效。 3. 相合性 设是参数的估计量，若设已概率收敛于，即对任意的0，有或，则称是的相合估计量。