4、二元函数的极值、最值.docVIP

4、二元函数的极值、最值 10极值定义 P208 为极大值 为极小值 驻点 极值点，需判别 设 、 、 f 0 A 0 极大值 A 0 极小值 0 非极值 =0 不定 求的极值 解： ， ， ， ， 令 得驻点 ， 在 ， ∴ 非极值 ， ∴ 为 极值点 又 ∴ 为极小值 例2、求在闭区域D：，， 的最大，最小值。 解： ， 令 （在D内） 在D的内部函数只有一个驻点 ， 在边界 ， 在 ， 在， 得： ，即 ，为驻点 比较 ， ， 得最大值 ，最小值 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 求原点到曲线的最大距离 此题即在条件下求的最小值问题 20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件下, 的极值 令 称为目标函数,为拉格朗日常数 解得的为可能的极值点 例1、求曲面到平面的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 ∴ 设 得： 得： ∵ 驻点唯一 ∴ 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 平面x+y-4z=1的法矢量 当∥时，即 得：, ∵ 在点处切平面平行已知平面 ∴ 点到平面距离最短， 例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 ∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 即 ， ∴ 四面体体积 故令 由 得： ∵ 驻点唯一 ∴ 为所求点。 例3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。 解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： 切线与两坐标轴的截距分别为 若要使S最小，只要最大 故设 由 得： ∵ 驻点唯一 ∴ 例4、P212 例5.32 5.33 第六章 多元函数的积分 10二重积分 1、定义 P225 2、性质 P226 其中表示平面区域D的面积 , ，表D的面积 3、几何意义 ， ，则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法 设 用平面截立体得如图1所示的曲边梯形 其面积 例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。 解：首先画出积分区域D 例2、将二重积分化为累次积分，其中D为： (1) 抛物线 及 所围成 解： 交点 ═ (2) 圆，， 所围 (3)，，所围， 例3、计算 , 0≤y≤1 1 1 10 1 0 例4、P228，例6.1，6.2，6.3 例5、，则 1解： 1 0 0 例6、 2 2 0 0 例7、交换积分次序 例8、 P231 例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10 5、二重积分在极坐标下计算方法 例9、计算 D： 解： 例10、 D：由，，， 所围。 解： 例11、 D由 ,及轴所围。 得交点 例12、P238 例6.13 6.14 6.15 例13、证明 证： 又 例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加，试证： 证：设 D关于y=x D关于 y=x对称 ∵ 单增 ∴ ∴ 即