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4.9 有理数域上的多项式 授课题目：4.9有理数域上的多项式 教学目标：熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法 授课时数：3学时 教学重点：高斯引理、有理系数多项式在有理数域上的可约性与相应的整系数多项式在整数环上可约性的一至性、艾森斯坦因判别法、整系数多项式的有理根的求法。 教学难点：艾氏判别法及其应用、整系数多项式的有理根的求法。 教学过程： 一. 上多项式的可约性的转化 先看下例： 设则 即 这里 问题的转化 问题 的可约性是否一致？即是否有 若能做出肯定的回答，则可约性问题的讨论可以简化。 本原多项式 定义1 若整系数多项式的系数互素，就称为本原多项式。 首项系数为1的整系数多项式都是一原多项式。 本原多项式的一个重要性质 引理4.9.1 （Gauss）两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证 设 都是本原多项式，记 若不是本原多项式，那么有素数，使得 也不能整除的所有系数。 我们有 （证毕） （学生看，回答下面问题：证明什么技巧值得我们注意？） 问题的回答 定理4.9.1 设，则 上也可约 （用例1，引理及引理中的方法，关键是证） 证 记 的系数的最大公因数； 于是 （证毕） 推论（补充） 设, （ 利用Th.1的证明方法。提醒学生g(x)是本原的条件不能削弱。） 二、不可约的判定 艾森期坦因判别法 定理4.9. 是一个整系数多项式，使得 ； 。 （用反证法及引理的方法） 证 存在整系数多项式 使得 其中 因为 设 考察等式 （证毕） 注意：有理数域存在任意次不可约多项式。如； 艾氏判别法只给出Q[x]中不可约的一个充分条件，而不是必要条件。 （如）； 对f（x）用艾氏判别法，f（x）必须是整系数的多项式，有理系数要加以转化； 有的多项式不能直接用艾氏判别法，但通过变换有时可用。 定理（补充） 设，令，那么在Q上不可约当且仅当在Q 上不可约。（同学们自己证） 变换可以是负数。 例2 证明分圆多项式 在Q上不可约，即在Z上不可约。 证 = 因为 因此 （1） （2） （3） 所以在上不可约，从而在上不可约，而 故在上不约。 （证毕） 最后，给出求有理系数多项式的有理根的方法。 设则存在一个整数使得显然与 有相同的根。于是，求有理系数多项式的有理根就转化为求整系数多项 式的有理根。 三.有理系数多项式的有理根的求法 问题的转化 所以求Q上多项式的有理根，就可归结为求整系数多项式的有理根。 2.是有理根的必要条件 定理4.9. 是整系数多项式，如果其中，那么 证 由于 (2) 这里是一个有理系数多项式，则有 式中是一个本原多项式。另一方面，可以写成 式中是一个有理数，是一个本原多项式。这样 式中和是互素的整数，并且而 由此，同定理4.9.1的证明一样,可以推得,从而得 (3) 这里 那么由式,得 比较系数,得这就是说整除而另 一方面,比较(2)和(3)式,得 由定理4.9.3 3.简化计算的方法 由定理4.9.3证明过程中的(3)式,我们有: 设是整系数多项式，如果有理数是的有理根，那么都是整数。 三、求整系数多项式的有理根的方法 求首项系数的所有因数，常数项的所有因数； 计算； 若，考虑或 （降次） （先筛选再检验）都是整数的，再用综合除法检验。 例4 求多项式的有理根。 解 而所以都不是的根。又因为 所以2不是验证之列； 所以-2是验证之列； 所以是验证之列； 所以是验证之列； 所以不是验证之列； 所以不是验证之列。 这样 作业：P166，1—7题