§3.1 二维随机变量的联合分布.pptVIP

* * 一. 联合分布函数 定义1： F(x,y)= P({Xx}∩{Yy}) =P(Xx,Yy) x,y?R 为二维随机向量(X,Y)的(联合)分布函数 §3.1 二维随机向量的联合分布 o x y o x y x1 y2 x2 y1 (x,y) (x2 , y2) P(x1?Xx2, y1?Yy2)= F(x2,y2) -F(x1,y2) -F(x2,y1) +F(x1,y1) (x1 , y2) (x2 , y1) F(x,y)具有以下性质 : (略) 二. 联合分布列 定义2： (X,Y)的所有可能取值是至多可列的, 则称(X,Y)为 二维离散型随机向量 X Y x1 x2 … xn … y1 y2 … yn … p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … pn1 pn2 … pnn … … … … … … … … … … … 定义3： (X,Y)的所有可能取值的集合为{(xi,yj), i,j=1,2,…}, 则称pij = P(X=xi,Y=yj), i,j=1,2,…为(X,Y)的分布列 或称为X和Y的联合分布列 pij的性质： (1) pij? 0 (2) pij = 1 i ∑ j ∑ 课堂练习: 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X,Y的联合分布列 二. 联合密度函数 定义4： 设(X,Y)二维随机向量, F(x,y)是它的联合分布函数，如果存在非负函数p(x,y), 使得对任意的实数x,y, 都有 则称(X,Y)是二维连续型随机变量. 而p(x,y)称为 (X,Y)的(概率)密度函数 p(x,y)的性质： (1) ?x,y?R, p(x,y)?0 (2) p(x,y)在几何上表示一个曲面(分布区面), 介于分布区面和xoy平面之间空间的体积为1 几何意义： p(x,y) I.设D是xoy平面上任一区域, (X,Y)落在D内的概率为： 特别地： P(X=a,Y=b)=0 P(Y=aX+b)=0 P(X=a)=P(Y=b) =0 II. 如： (以D为底, p(x,y)为顶的曲顶柱体的体积) (D为单点集或可求长曲线上的点集时, 概率为0 ) 注 III. 若p(x,y)在点(x,y)处连续, 则 例1: 设(X,Y)的密度函数为 求: (1)常数C; (2)分布函数F(x,y); (3)P(X+Y?1) 例2: (书例3.1.6) 课堂练习 求: (1)常数k; (2)P(X1,Y 3); (3)P(X 1.5); (4)P(X+Y?4) 设(X,Y)的密度函数为: 1/8，3/8，27/32，2/3