直线与平面平行经典题目.docVIP

9.2 直线与平面平行 ●知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行. ●点击双基 1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ 答案：D 2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β， 过直线a作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b，β∩γ=c， 则a∥b且a∥c， ∴b∥c. 又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l. 答案：C 4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l A.平行　　　　B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内， 且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直， 综上所述，选C. 5.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤. （i）当满足条件 ③⑤ 时，有；（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有. （填所选条件的序号） ●典例剖析 【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE. 证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ. ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ. 又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形. ∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE. 证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG. ∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE. 又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE. 又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE. 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求直线MN与平面ABCD所成的角. （1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥， ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE. 又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC. （2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角. 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知PO==. 由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=. 在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=， 根据余弦定理，得PE=. 在Rt△POE中，PO=，PE=， ∴sin∠PEO==. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. 【例3】如图在直棱柱ABC－A中，A＝C＝AA1＝D是AB的中点， （I）求证 （II）求 1//平面CDB1； （III）求异面直线 A与 B1C所成角的． I）直三棱柱ABC－II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点， E是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； （III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1