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第5讲 二次剩余 教师：李艳俊 本讲内容 一、二次剩余的概念 二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 三、勒让德符号 四、雅可比符号 五、小结 一、二次剩余的概念 二次同余式的一般形式是 2 ax bx c 0(modm) a  0(modm) 其中m是正整数，  。 上式等价于同余式 2 2 y d(modm) y 2axb,d b 4ac 定义1 设m是正整数，若同余式 2 x  a(mod m) (a,m) 1 有解，则a叫做模m的平方剩余(或二次剩余) ；否则a叫做 模m的平方非剩余(或二次非剩余) 。 例1 分别求出模11，12的二次剩余和二次非剩余。 解： 模11的二次剩余是：1，3，4，5，9； 二次非剩余是：2，6，7，8，10。 模12的二次剩余是：1； 二次非剩余是：5，7，11。 2 3 例2 求满足同余式y  x x2(mod7)的所有的点。 解： 模7的二次剩余是：1，2，4；二次非剩余是：3，5，6。 对x  0,1,2,3,4,5,6(mod7)，分别求出 y 对应的的值为 2 y  3,4(mod7) x  0(mod7) y  2(mod7) 2 y  2,5(mod7) x  1(mod7) y  4(mod7) 2 无解 x  2(mod7) y  5(mod7) 2 x  3(mod7) y  4(mod7) y  2,5(mod7) 2 y  0(mod7) x  4(mod7) y  0(mod7) 2 无解 x  5(mod7) y  6(mod7) 2 y  0(mod7) x  6(mod7) y  0(mod7) 二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 (a,p) 1 定理1(欧拉判别条件) 设p是奇素数， ，则 (1) a是模p的平方剩余的充分必要条件是 p1 2 a  1(modp) (2) a是模p的平方非剩余的充分必要条件是 p1 2 a  1(modp