优等生辅导习题二次函数与方程不等式.docVIP

二次函数与二次方程、二次不等式 基础知识： 一、二次函数 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数. 二次函数的有关性质 a＞0时，开口向上① 开口方向  a＜0时，开口向下② 对称轴方程 x＝－ 自然定义域：R③ 定义域 指定定义域：D 图象 x＝－ x＝－ 二次函数的解析式① 一般式：y＝ax2＋bx＋c② 顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点③ 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根 二、二次方程 当f(x)＝ax2＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程 ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标. 根的判别式△＝b2－4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根 根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2＝－，x1x2＝ 根的位置=图象位置=等价条件ax2＋x＋＝＞若有二根x1＞＜则f⑴＜ 若有二根x1，x2∈(2，则 f⑵＞⑶＞△≥0 －∈，三、一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集，即函数f(x)＝ax2＋bx＋c的自变量的取值范围，使其函数值f(x)＞0(或＜0)的自变量的取值范围. △＞△＝△＜例题： 选择填空题① f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( )A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴解：由题意，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选A x＝2② 已知y＝log(x2－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a的取值范围是( )A.a＞1 B.－1＜a＜1C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1解：由函数的单调性的定义知：x在(－∞，0)上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程：x: －∞0＝x2－2x:＋∞0故必有0＜a2＜1∴ －1＜a＜1且a≠0.选B③ 已知函数y＝log(x2－6x＋7)，则y( )A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解：∵ u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞)而定义域要求u＞0∈(0，＋∞∴ b＝log0.5u∴ b∈(－∞，＋∞).选D 填空题①方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______.解：令y1＝x2－2|x|，y2＝a则y1＝，其函数图象如下：思考：a为何(范围)值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？②关于x的方程x2－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________.解：方程有实数根，故△＝4a2－4×9≥0∴ a≤－3或a≥3又α＋β＝2a，αβ＝9∴ y＝(α－1)2＋(β－1)2 ＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋ ＝4a2－4a－16∵ a≤－3或a≥3∴ y≥8＝∴ ymin＝ 已知函数y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，求关于x的方程＝|a－1|＋1的根的范围. 分析：由于图象与x轴没有交点， 所以△＜0，解得a的取值范围 又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题. 解：∵ y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，所以△＝(－4a)2－4(2a＋30)＜0解得：－2.5＜a＜3⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为x＝(a＋3)(2－a) ＝－a2－a＋6∈(]⑵当a∈(1，3)时，方程化为x＝(a＋3)a＝a2＋3a∈(4，18)综上所述：x∈(，18) 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A(1，0)① 求ab的值；② 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值. 解