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溶解度与温度的关系 问题重述：大量的实验表明，在一定的温度范围内，物质的在水中的溶解度随着温度的升高而增大，定性地描述了溶解度与温度之间有一定的关系。溶解度与温度之间到底有怎样的数学关系呢？通过某种化工原料在水中的溶解度与温度的数据资料，定量地分析溶解度与温度之间的关系。 考察某种化工原料在水中的溶解度与温度的关系，共作了9组试验。其数据如其中 表示溶解度， 表示温度温度 0 10 20 30 40 50 60 70 80 溶解度 14.0 17.5 21.2 26.1 29.2 33.3 40.0 48.0 54.8 从上图中，观察到数据点的分布是有逐渐上升的趋势，这说明温度越大，溶解度越大。于是，提出下面两种假设： 假设一：溶解度y与温度x之间具有一元线性关系，设y与x满足一元线性方程y=a+b*x+θ 式中a+b*x描述了由于x的变化而引起y的变化部分,θ表示随其它因素而引起的部分，一般假定是不可观测的随机误差，是一个随机变量，通常设它服从标准正态分布。 利用SPSS软件，对溶解度和温度之间的关系作出线性分析，得到以下的数据表格 表1 模型摘要和回归系数 Model Summary and Parameter Estimates Equation Model Summary Parameter Estimates R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 Linear .975 272.698 1 7 .000 11.600 .499 表2 方差分析 ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. Regression 1495.004 1 1495.004 272.698 .000 Residual 38.376 7 5.482 Total 1533.380 8 表3 回归系数 Coefficientsa Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. 95.0% Confidence Interval for B B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound 1 (Constant) 11.600 1.439 8.060 .000 8.197 15.003 温度x .499 .030 .987 16.514 .000 .428 .571 从表1中，可以得到溶解度y与温度x的一元线性关系 y=11.6+0.499*x 在方差分析中（表3），回归平方和是1495.004，残差平方和是38.376， 总的离差平方和是1533.38，其决定系数R=0.975(R是回归平方和与总的离差平方和的比值)，也就是说R越大，其线性回归效果就越显著。常数项的估计值是11.6，x的系数的估计值是0.499，表3是对两估计值的检验，常数项95%的置信区间是（8.197，15.003），常数项检验的t值为8.060，对应的p值约为0，x的系数95%的置信区间是（0.428，0.571），x系数检验的t值为16.514，对应的p值约为0，因此该一元线性回归方程有效。可以表示为y=11.6+0.499*x 假设二：溶解度y与温度x之间具有曲线关系，设y=a*e^(b*x)+θ 式中a*e^x表示由于x的变化而引起y的而变化部分，θ是一个不可观测的随机误差。 表4 模型摘要和回归系数 Model Summary and Parameter Estimates Equation Model Summary Parameter Estimates R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 Exponential .994 1205.455 1 7 .000 14.816 .017 表5 方差分析 ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. Regression 1.666 1 1.666 1205.455 .000 Residual .010 7 .001 Total 1.676 8