最优控制笔记.docVIP

最优控制又叫动态优化 工程技术领域里的过程（物理过程或化学过程），通常都是可以控制的 过程控制：使过程的发展变化按人们的需要进行 动态优化问题的四个要素： 1.建立过程的动态模型（动态系统的状态方程） 2.指定所需的初始状态和结束状态（状态方程的边界条件） 3.确立在可行控制策略 4.性能指标 动态系统的变化，可以看成对应状态的变化，其中每一个状态对应着n维状态空间中的一个点，系统的运动将在状态空间中画出一条状态曲线 动态系统的状态方程： 1.是对研究对象的动态数学建模 2.体现了系统运动时应遵循的规律,反映了系统的动态特征 3.一般是微分方程组描述 状态方程f[x(t),u(t),t]的数学性质： 1.f[x(t),u(t),t]是向量函数，维数与状态变量维数相同 2.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/u(t)/t的连续函数 3.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/t的连续可微函数 4.u(t)是关于t的分段连续函数，只有有限个第一类间断点 系统的初始时刻t0和初始状态x0一般都是已知的 系统的结束时刻tf：固定或者不固定 系统的结束状态xf：全部固定/全部不固定/部分固定 性能指标： 1.要根据实际任务确定，例如过程持续的时间最少/过程消耗的能量最少/成本最小/利益最大等等 2.种类：终值型/积分型/复合型,它们都是关于x(t)/t的连续可微函数 最优控制一定是容许控制，即最优控制策略（最优控制函数）在控制函数空间中的一个子集中选择 当最优控制轨迹确定后，通过系统的状态方程，可以确立对应的最优状态轨迹  现代控制理论相对于经典控制理论的优点： 1.从时不变系统延伸到时变系统 2.从单输入单输出系统延伸到多输入多输出系统 3.从频域回到时域，采用能够揭示系统内部各状态变化规律的状态空间描述法 最优控制理论属于现代控制理论的分支 从数学角度来看，最优控制问题本质上是求泛函极值的变分学问题 变分法分为古典变分法和现代变分法（最大值原理/动态规划） 古典变分法只能解决容许控制集为开集的最优控制问题 实际最优控制问题的容许控制集都是闭集，可以用现代变分法解决 函数分为两类：普通函数和泛函 普通函数随自变量t变化有确定值对应 泛函随普通函数（称为泛函的宗量函数）的形式变化有确定值对应，t已确定或不产生影响 复合函数也是普通函数，随自变量t变化有确定值对应 具有某些相同特征的所有函数组成一个函数类，或称函数空间 在函数空间内，每一个函数（形式不同的）成为函数空间的一个点，例如sin(x)和sin(2x)是正弦函数空间的两个点 泛函宗量的变分： 1.同一函数空间中的两个函数的差（t已确定或不产生影响） 2.宗量的变分仍然是一个普通函数 3.这里“变分”的意思是改变量 宗量的维数为m时，则宗量的变分在m维函数空间中进行，其中每一维函数空间各自是具有某些相同特征的函数类 两个普通函数k阶相近的定义，从几何上来看就是曲线的相似程度 两个普通函数间的k阶距离定义，从几何上来看就是曲线的差异程度 m维函数空间中，与点[x0(t),x1(t),...xm(t)]距离相同的点构成m维空间中的一个球面 泛函k阶连续的定义（利用两个普通函数间的k阶距离来定义） 线性泛函的定义：满足齐次性与可加性 泛函的变分： 1.是泛函增量的关于宗量变分的线性主部 2.是关于宗量变分的线性连续泛函 3.仍然是一个泛函 4.泛函的变分是唯一的 5.这里变分的意思相当于普通函数的微分 泛函变分的计算公式，是关于宗量变分的泛函，也是关于alpha的普通函数，从普通函数极值条件出发推导得到泛函极值条件 求普通函数的极值，必要条件是：极值在稳定点获得，稳定点即普通函数导数为0的点 求泛函的极值，必要条件是：极值在泛函变分为0的点取得 Lagrange/Mayer/Bolza形式指标的相互转换 欧拉--拉格朗日方程的推导过程 欧拉--拉格朗日方程是一个二阶微分方程 欧拉--拉格朗日方程成立的前提： 1.宗量函数对自变量的二阶导数存在 2.积分函数二阶连续可微 欧拉--拉格朗日方程的能积分出最优解的特殊情况 含有多个宗量函数的欧拉--拉格朗日方程组形式 等式约束条件下的泛函极值问题采用拉格朗日乘子思想 等式约束下的多变量普通函数极值问题，拉格朗日乘子是m维常向量 等式约束下的泛函极值问题，拉格朗日乘子是m维普通函数，称为协态变量 拉格朗日乘子法的步骤：原问题--辅助泛函--解等式约束+欧拉方程--用边界条件确定未知系数--判断极大/极小/鞍点 等式约束下的泛函极