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浅谈等角螺旋线 作者：09公管 丁刘泽隆 王海玥 阚萍 摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。 关键词：等角螺线 黄金比 应用 引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%84%BFvariant=zh-cn \o 笛卡儿 笛卡儿在 HYPERLINK /w/index.php?title=1683%E5%B9%B4variant=zh-cn \o 1683年 1683年发现的。 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%9B%85%E5%90%84%E5%B8%83%C2%B7%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9variant=zh-cn \o 雅各布·伯努利 雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli?)后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%9B%B2%E7%BA%BFvariant=zh-cn \o 曲线 曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7%E8%9E%BA%E7%BA%BFvariant=zh-cn \o 阿基米德螺线 阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。 模型的建立 (1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径?（polar Radius），e是自然对数（?natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 (2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio） 首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。 参考资料《数学爵士乐》【美】 爱?德华伯格 迈克?尔斯塔伯德著 模型的性质 (1)等角螺线的臂的 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%B7%9D%E7%A6%BBvariant=zh-cn \o 距离 距离以 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%B9%BE%E4%BD%95%E7%B4%9A%E6%95%B8variant=zh-cn \o 幾何級數 几何级数（geometric progression）递增。 (2)设 L 为穿过 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%8E%9F%E9%BB%9Evariant=zh-cn \o 原點 原点的任意 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%9B%B4%E7%BA%BFvariant=zh-cn \o 直线 直线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 ln b。 从螺线的心向螺线上任一点引一条线段，该线段与螺线上该点的切线间的夹角处处相等（图片来自） (3)设 C 为以原点为 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%9C%86%E5%BF%83variant=zh-cn \o 圆心 圆心的任意圆，则 C 与等角螺线