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模糊矩阵合成运算性质 （1）结合律 推论： （2）分配律 对与“交”运算，不满足分配律 （3） 其中，0为零矩阵，I为单位阵 （4）若 则 （5）若 则 合成运算不满足交换律，即 例 模糊矩阵的转置 同普通矩阵转置一样，行变列，列变行。性质如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 若 则称R为模糊对称矩阵 模糊关系 模糊关系的定义 模糊关系是普通关系的推广，普通关系描述元素之间是否关联，而模糊关系则是描述元素之间的关联程度的多少。 设X、Y是两个非空集合，则直积 中的一个模糊子集 ，称为从X到Y的一个模糊关系，记 由其隶属函数完全刻划。序偶（x，y）的隶属度为 表明了（x，y）具有关系 的程度。 当论域X、Y是有限集时， 可用模糊矩阵表示。 例设某地区人的身高论域X={140，150，160，170，180}（cm)，体重论域Y={40，50，60，70，80}（kg），下表为身高与体重的相互关系，是从X到Y的一个模糊关系 0 0.1 0.2 0.8 1 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 1 0.8 0.2 0.1 0 140 150 160 170 180 80 70 60 50 40 X Y 用矩阵表示为： 。。。。。 。。。。。 模糊关系的运算 模糊关系运算 设 是X到Y的模糊关系，定义如下运算： （1）并： （2）交： （3）包含： （4）相等： （5）补： （6）转置： 称为 的逆关系，又称倒置关系（即Y到X的关系） （7）恒等关系：若给定X上的关系 则称 为X上的恒等关系 （8）零关系：若给定X→Y上的模糊关系 则称 为X→Y上的零关系 则称 为X→Y上的全称关系 （9）全称关系：若给定X→Y上的模糊关系 满足， 模糊关系运算性质： （1） ～ ～ （2） ～ ～ （3） ～ ～ ～ ～ ～ ～ （4） ～ ～ ～ ～ ～ ～ （5） ～ ～ ～ ～ 对任意的模糊关系R，有 （6） ～ ～ ～ ～ （7）若 ～ ～ 则有 ～ ～ 模糊关系的性质： 1. 自反性 模糊关系R，若任意x∈X， 则认为R具有自反性，任意x与自身从属于R的程度为1，（相应模糊矩阵R的对角元素全为1）。 2. 对称性 模糊关系R，对 都有 则称R具有对称性，其相应模糊矩阵R满足 3. 传递性 模糊关系R，对 都有 则称R具有传递性，其相应模糊矩阵R满足： 即 具有自反性、对称性的模糊关系称为相容关系。 例 “相象关系”具自反性、对称性是相容关系； “仇敌关系”不具自反性，具对称性、传递性； “喜欢”不具对称性、传递性； “大得多”，不具有自反性、对称性，但具传递性； 例，设X={x1，x2，x3，x4，x5}，模糊关系矩阵如下，判断R是否是模糊等价关系？ 。。。。。 。。。。。 如论域X上的模糊关系同时满足： （1）自反性： （2）对称性： （3）传递性： 则称R是X上的一个等价关系。 。。。。。 。。。。。 ∴R具有传递性，R同时具有自反性，对称性，传递性，所以R是等价关系。 又 因为R的主对角元素均为1，且有 ∴R具有自反性和对称性。 * 第五章 模糊控制系统 5.1 模糊集合及其运算 经典集合及运算 集合： 指具有某种属性的，确定的，彼此之间可以区别的事物全体。组成集合的事物称集合的元素，集合以大写字母A、B、C‥X、Y、Z表示，元素以小写字母a、b、c‥x、y、z表示，元素与集合之间的关系：x∈X或x X 经典集合常见概念术语： 论域（U）：被考虑对象的所有元素的全体称为论域。 空集（ ）：不含任何元素的集合。 包含： ，则称B包含A，记 模糊数学与模糊推理 子集：集合A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集， 若 且 ，则A是B的真子集， 幂集：若U是论域，则以U的所有子集为元素的集合称为U的幂集，记为：P（U）。 交集：同时属于A和B的元素组成的集合为P，则称P是A和B的交集，记为： 且 并集：由属于A或B的元素组成的集合为S，则称S是A和B的并集，记为： 或 差集：由属于A但不属于B的元素组成的集合为Q，则称S是A和B的差集，记为： 且 补集：由论域U中不属于A的元素组成的集合称A在U中的补集，记为： 且 集合之间关系的文氏图表示： U A B U A B U A B U A B U A 集合的直积 两个集合A和B，直积定义为： （x，y）称为序偶，（x，y）≠ （y ，x），直积可推广到多个集合上去，设A1，A2，…，An，则 例：设备A={1，2}，B={a，b，c}，则 关系：对于集合X和Y的直积X×Y的