一个关于球面和环面上嵌人图的近一三角剖分嵌人的内插定理()I.pdfVIP

2006，26A(2)：207211 数学物理学报 一 个关于球面和环面上嵌人图的近 一三角 剖分嵌人的内插定理 (I) 任韩 邓默 卢俊杰 (华东师范大学数学系 上海 200062) 摘要：一个近一三角剖分嵌入是指一个曲面上的嵌入图使得几乎所有的面都是三角形，至多只有 一 个可能的例外．文中作者证明了如下结论：如果一个图G在球面s0(或环面s)上有近一三角 剖分嵌入，那么G在每一个可定向曲面 有近一三角剖分嵌入，其中k=h，^+1，·一，l半』J， 而 h=0(或 1)并且 (G)是图G 的Betti数．特别地，G 是上可嵌入的． 关键词：近一三角剖分嵌入；嵌入；可定向曲面． MR(2000)主题分类：05C10；05C45 中图分类号：O157．6 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2006)02—207—05 1 引言 本文讨论的图都是连通的简单图．所有的术语和记号都是标准的，没有定义而使用的概 念参见文献 …． 从拓扑学的角度上看，一个 曲面就是一个紧致的无边界的 2．维流形．众所周知，所有 的曲面被分成两大类：一类是可定向曲面，用 来表示 (一个具有 h手柄的球面)；而另外 一 类是不可定向曲面，用 Nh来表示 (一个具有 h个叉帽的球面)．图G在一个 曲面 ∑上的 嵌入是指一个画法 (从 G到 ∑的拓扑映射)，使得G边与边仅在节点处相交而且 ∑一G的每 一 个连通分支都同胚于一个开圆盘，这些圆盘被称为面．一个面的边界被称为面迹．如果一 个面迹的长为 ，则称这个面为一个 边形．曲面 ∑上的嵌入图G 中的圈C是本质圈，如 果 ∑一C的每一个分支都不同胚与一个开圆盘；否则，C称为平凡圈． 一 个 曲面的近 一三角剖分是指一个嵌入在它上面的图G使得除开一个可能的面以外， 所有的面均为三角形，相应的嵌入也被称作近 一三角剖分嵌入．如果所有的面都是三角形， 则称其为三角剖分 (图)．易见，一个三角剖分 (图)是一个近 一三角剖分 (图)． 可定向嵌入方面的一个主要结果是下面的Duke定理 2】． 定理 A 如果一个图G可以同时嵌入在 sm与 (m n)上，那么G就可以嵌入在每 一 个 上，m n． 尽管 Duke定理表 明图在可定向曲面上的嵌入具有内插性质，但是对于这些 内插嵌入却 没有提供更多的信息．那么，这些内插嵌入具有一些什么性质呢?在本文里我们讨论一般 曲 收稿 日期：2003—03—23；修订 日期：2004—09—05 E—mail：hren@math．ecnu．edu．CB 基金项 目：上海市重点科学基金和上海市科委基础研究重点项 目(04JC14031)，中国国家 自然科学基金项 目 资助 208 数 学 物 理 学 报 、b1．26A 面嵌入 (包括不是最大和最小亏格嵌入)的结构性质，得到了一个关于近 一三角剖分嵌入的 内插性质，即下面的 定理B 设G是一个球面 (或环面 1)的三角剖分图．那么对于每个k：h k l J， G在 s 上有近 一三角剖分嵌入，这里 h=0(或 1)且 (G)是图G的Betti数．特别地， G是上可嵌入的． 由欧拉公式不难看出，一个图G的最大亏格不能超过 l J．如果最大亏格达到 l J， 则称G是上可嵌入的．易见，一个上可嵌入图的最大亏格嵌入中至多有两个面．一个三角 剖分图如果是上可嵌入的，则其最大亏格嵌入中恰好有两个面． Nebesky[3J在上可嵌入理 论中的一个基本结果表明：一个局部连通图是上可嵌入的．但它并没有提供关于这一类图在 曲面嵌入方面的更进一步的信息．而从定理 B我们可以得到以下的结果． 推论 如果一个图G是球面或者环面的一个三角剖分图，那么它在S． ．上有一个嵌 L J 入含有一个