HPM视角下的配方法教学.pdfVIP

HPM 视角下的一元二次方程的配方法教学 1 2 沈志兴 洪燕君 （1上海师范大学附属罗店中学，上海，201908；2 华东师范大学数学系，上海，200241） “一元二次方程的解法”是沪教版8年级上册数学的教学内容，共分为7个学时，其中 “配方法”安排在第4 个学时，之前学生已经学过直接开平方法和因式分解法，这节课的学 习将为后面学习公式法奠定推导基础，并且可以解决许多其它综合性问题。 由于本节课中研究的方程不具备直接采用开平方法和因式分解法的结构特点，需要合理 添加条件进行转化，即 “配方”，而学生在此前的学习中缺少类似经验，对 “完全平方”的 理解也存在一定的困难。数学史告诉我们，在没有符号代数的情况下，古人是借助直观的几 何图形来解一元二次方程的，今天的代数意义上的“配方”对应于几何上的“将长方形割补 成正方形”。我们希望通过几何图形的操作来降低配方法的难度，同时，提升学生的两种语 言之间的转化能力。基于HPM 的视角，我们将本节课的教学目标拟定为： （1）让学生经历配方法的发现过程，体会 “方”的魅力； （2）通过数形结合，加深对 “添加的常数项等于一次项系数一半的平方”这一核心步 骤的理解； （3）培养学生几何图形语言与代数符号语言之间的转化能力，体会类比、转化等思想 方法； （4）让学生体会古今方法的异同，感悟数学历史的演进性，欣赏数学文化。 1 配方法溯源 历史上，最早出现的一元二次方程是x2 A ，属于 “已知正方形的面积求边长”的问 题，可用 “开平方法”加以解决。古埃及祭司将问题进行拓展，提出“已知长方形面积以及 长和宽之比，求长和宽”的问题，也用开平方法来解。古巴比伦祭司则解决了更一般的问题： “已知长方形面积以及长、宽之差，求长和宽”。除了不接受负根外，祭司给出的解法与今 [1] 天的求根公式一致。数学史家们推测 ，祭司是通过长方形的割补，将问题转化为 “已知正 华东师范大学与上海市宝山区教育局合作项目“HPM 与初中数学教师专业发展”系列教学案例之一。 方形面积求边长”来解决的。 古希腊数学家欧几里得在 《几何原本》中给出了几何意义下的配方法，该书卷二命题5 2 2 b b     [2] 相当于说 ：x xb  x ，欧几里得先将长为xb，宽为x 的矩形转化为       2 2     b b 一个矩尺形，然后补上边长为 的小正方形，即得边长为x 的大正方形。 2 2 在中国汉代的 《九章算术》中，一元二次方程 2 的一次项bx 被称为 “从法”， x bx c 解方程的方法也叫 “开方”，有理由相信，中算家也用了 “割补化方”的方法。 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米 （al-Khwarizmi,780?-850?）继承了古希腊人的“几 何代数”传统，在其 《代数学》中载有很多一元二次方程的问题，都是借助几何图形来求解 [3] 的 。花拉子米给出的其中一个问题是：“一平方与十根等于三十九迪拉姆，求根”（即求解 方程 2 ）。花拉子米将方程左边 2 看作边长为x 的正方形和长为x、宽为 x 10x 39 x 10x 10 的矩形面积之和。他用两种方法来 “配方”