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初等数论严蔚敏版) 12.2 勒让德符号.pdf
第二节 Legendre符号
• 从上节知道,当模比较大的时候,平方剩余与
平方非剩余的欧拉判别法很难实际应用.本
节将要给出一个比较便于实际计算的判别
方法,为此,我们需要引进 Legendre符号.
定义
给定奇素数p,对于整数n,定义Legendre符号
0, 当p |n时(即(n,p) 1)
n
( ) 1, 当nQR(p)时(即n是模p的平方剩余) .
p
-1, 当nQNR(p)时(即n是模p的平方非剩余)
如:1与4是5的二次剩余,2与3是5的二次非剩余,
1 2 3 4
于是( ) 1,( ) -1,( ) -1,( ) 1.
5 5 5 5
定理1
设p是奇素数,n是整数,则
p-1
n
2
(1)( ) n (modp);
p
n n
1
(2)若n n (modp),则( ) ( )(modp);
1
p p
1 -1 p-1
2
(3)( ) 1,( ) (-1) ;
p p
aa a a a a
1 2 k 1 2 k
(4)对任意的整数a ,1 i k,有(i ) ( )( )( ).
p p p p
证明:(1)分三种情况说明,
n
若p |n,由Legendre符号的定义知,( ) 0,
p
p-1
2
又n 0(modp),成立.
n
若n是模p的平方剩余,由Legendre符号的定义知,( ) 1,
p
p-1
2
又由第一节定理1知,n 1(modp),成立.
p-1
n
2
若n是模p的平方非剩余,易知( ) 1 n (modp),
p
成立;
(2)若n n (modp),
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