王兰美《数字信号处理》第13节.pptVIP

3.4 DFT的应用 有限长序列的线性卷积： 循环卷积： 2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析 (4) DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ； 根据频率分辩率 （常用频率采样间隔F描述），确定所需DFT的长度 (3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度 这里T是采样周期。 * 一、用DFT计算线性卷积 1、用DFT计算循环卷积 由此可见，循环卷积既可以直接在时域计算，也可按照下图在 频域计算。鉴于DFT具有快速算法FFT，当N很大时，在频域的 计算速度要快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积 。 2、有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过系统 h（n），其输出就是线性卷积 y（n）=x（n）*h（n）。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述 x（n）与h（n）的线性卷积，如果 x（n）、h（n）为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。 假定 x（n）为有限长序列，长度为N， y（n）为有限长序列，长度为M， 它们的线性卷积f（n）=x（n）*y（n）也应是有限长序列 因 x（m）的非零区间： 0≤m≤N-1， y(n-m)的非零区间： 0≤n-m≤M-1， 这两个不等式相加，得： 0≤n≤N+M-2， 在这区间以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一个长度为N+M-1的有限长序列。 又有 所以可得： 重新构造两个有限长序列 x（n）、y（n），长度均为L max{N,M} ，序列 x（n）只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列 y（n）只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。 线性卷积记为： 循环卷积为： 其中 就是线性卷积，也就是说，x（n）、y（n）的循环卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的周期延拓的主值序列，周期为L。 根据前面的分析， 具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果循环卷积的长度 LN+M-1，那么 周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有 L≥N+M-1 时，才不会产生交叠，这时 的周期延拓中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是 的全部非零序列值，而剩下的 L —（N+M-1）点的序列则是补充的零值。 循环卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： L≥N+M-1? 图 用DFT计算线性卷积 3、无限长序列的DFT 实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如 若选取L=N+M-1，以L为运算区间， 并用上述循环卷积计算线性卷积，则必须对短序列补充很多零点， 长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存储容量大， 运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。况且在某些应用场合， 序列长度不定或者认为是无限长， 比如语音信号和地震信号等。在要求实时处理时，直接套用 上述方法是不行的。解决这个问题的方法是将长序列分段处理， 这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法。这里只介绍重叠相加法。 重叠相加法的步骤：（设x(n)为无限长序列，h(n)长为N） 1）将无限长序列进行分段，每一段长为M。 2）对每一段进行长为L=N+M-1的卷积。 3）将相邻两段卷积结果相重叠的部分相加，既可得到完整的卷积结 果序列。 M 》N 利用DFT计算连续信号的频谱 采样 截短 DFT ? （1）混迭 对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样 采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低