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可化为一元一次方程的分式方程及其应用精讲精练 【基础知识精讲】 1.分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程解法:(1)在方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程;(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0，使最简公分母为0的根是原方程的增根，必须舍去. 3.增根是指在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根,增根必须舍去. 4.关于列分式方程解应用题，须注意列出的方程分母中含有未知数，检验时不仅要检验所求出的根是否是所列方程的根，还要看是否符合题意. 【重点难点解析】 1.重点难点分析 重点：分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想；列分式方程解应用题. 难点：了解产生增根的原因，掌握验根的方法；列分式方程解应用题. 2.典型例题解析 例1 解方程=1 解 两边同乘以(y+1)(y-1)，去分母，得 (y+1)2-4=y2-1 y2+2y+1-4=y2-1 y=1 检验：把y=1代入最简公分母 (y+1)(y-1)=(1+1)(1-1)=0 ∴y=1是增根 故原方程无解 解方程 分析 此方程如果直接去分母，得一元三次方程不易解.观察此方程，分子均相同，分母间相差2，所以此方程可采用下面的解法. 解 方程的两边同乘以(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得 (y-6)(y-8)=(y-2)(y-4) y2-14y+48=y2-6y+8 -8y=-40 ∴y=5 经检验：y=5是原方程的根 ∴原方程的根为y=5 例3 解方程 解 （1+）-（1+）=（1+）-（1+） (x+1)(x+3)=(x+5)(x+7) x2+4x+3=x2+12x+35 8x=-32 ∴x=-4 检验：当x=-4时，(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)≠0 ∴x=-4是原方程的解 ∴原方程的根为x=-4 例4 A、B两地相距60千米.甲、乙两人同时从A地骑车出发，前往B地，结果甲比乙早到1小时，已知甲的速度是乙的1.5倍，求甲、乙两人的速度. 分析 甲、乙两人同时从A地出发，前往B地，结果甲比乙早到1小时，所以得出相等关系为： 乙行60千米的时间-甲行60千米的时间=1小时，若设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.5千米/小时，甲行60千米的时间为小时，乙行60千米的时间为小时，可列方程：-=1 解 设乙的速度x千米/小时，则甲的速度为1.5x千米/小时 根据题意得：-=1 解得x=12 经检验：x=12是原方程的根 当x=12时，1.5x=18 答：甲的速度是18千米/小时，乙的速度为12千米/小时. 例5 甲乙两个工程队合作一项工程，需16天完成，现两个队合作9天，甲队被调走，乙队又单独做21天才完成，问甲、乙两队单独做各需几天完成？ 分析 设甲单独做x天完成，则甲的效率为，两人合作的效率，乙的效率（-），两队合作9天完成了的工作量，乙单独做21天的工作量是21×(-).相等关系：甲、乙9天的工作量+乙21天的工作量=1. 解 设甲队单独做需x天. 根据题意，得-(-)×21=1 解得x=24 经检验：x=24是原方程的根 当x=24时，（-）=，=48 答：甲、乙两队单独做甲需要24天，乙需要48天. 【难题巧解点拨】 例6 关于x的方程=3有增根，求m的值. 解 方程两边都乘以(x-2)得 2x-(3-m)=3(x-2) 把x=2代入上面得到的整式方程，得 4-3+m=0 m=-1 点评 若分式方程有增根，则增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值;反过来，使最简公分母等于零的未知数的值不一定是方程的增根 【课本难题解答】 P115复习题九A组10题(2) 解方程： 解法一 (x2-4x+8)(x-2)=x(x2-4x+4)=x(x-2)2 (x-2)(x2-4x+8-x2+2x)=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2 x2=4 经检验：x=2为增根. ∴x=4 解法二 1+ ∴x-2=2 x=4 经检验原方程根为x=4 注：解法一是常规解法，解法二则逆用分式的加减运算，以达简化计算之目的，解分式方程时一定要注意验根. 【命题趋势分析】 命题方向主要有两个方面： (1)考查解分式方程的能力，命题方式有解方程或填空题等形式. (2)考查列方程解应用题的能力，从各地历届中考试题看，一般都要考查一道方程应用题，题型一般有行程问题、工程问题、浓度问题、增长率问题、面积问题及数字问题等. 【典型热点考题】 例7 解关于x、y的方程组 (ab≠0) (长沙中考题) 解