矩阵与数值分析-数学05级计算方法试题A.docVIP

大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试卷 课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分 一、填空（每一空2分，共42分） 1．为了减少运算次数，应将表达式. 改写为_______； 2．给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为 ， 用Simpson公式求得的近似值为 。 设函数，若当时，满足，则其可表示 为 。 4．已知,则 , ，逼近的Newton插值多项式为 。 5．用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为： 。 6．已知，则的Jordan标准型是 ； 7．设是阶正规矩阵，则 ； 8．求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式） Euler法的显式化的格式为： 。 9．设12为的近似值，且，则至少有 位有效数字； 10．将，化为的Householder矩阵为： ； 11． ； 12．用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。 13．若为Newton-Cotes 求积公式，则 ，若为Gauss型求积公式，则 。 14．设，则在Schur分解中，可取为 。 15．设，则 , 。 二、（8分）已知近似值，，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。 三、（15分）设线性方程组： （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 ，，和； （2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？ （3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。 四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法 ①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。 五、（15分） （1） 用Schimidt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，，，; （2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式； （3） 利用2)的结果求出的数值解。 六、证明题（5分）任选一题 1．设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。 已知，求出，证明 收敛。 -1- 姓名： 学号： 院系： 班级： 授课教师：张宏伟 装 订 线