同济高数第三章课件第五节.pptVIP

中值定理与导数的应用 一、函数极值及其求法 函数的极大值与极小值统称为极值, 二、 最 大 值 、最 小 值 三、小结 * 第五节 函数的极值与最大值最小值 若存在点 的一个邻域， 则称 是函数 f (x)的一个极大值 (或极小值) 定义 设函数 f (x)在区间(a, b)内有定义， 对这个邻域内的任何点x， 除点 外， 均成立， 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 使函数取得极值的点称为极值点. 且在 处取得极值, 设 f (x)在 点可导, 可导函数的极值点必定是它的驻点， 但驻点不一定是极值点。 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 则f(x)在 处取得极大值. 则f(x)在 处取得极小值. 则f(x)在 处无极值. 求极值的步骤: (不是极值点情形) (1)求导数 (3)检查驻点与不可导点两侧，导数的正负号 (4)求极值 (2)求驻点与不可导点 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 设 f (x) 在 处有二阶导数, 则 (1)当 时, (2)当 时, 函数在 处取得极大值; 函数在 处取得极小值; 所以，函数 f (x)在 处取得极大值 例2 解 例3 解 练习题 1.函数 的极大点为______, 极小点为______, 极小值为___。 极大值为___, 2.试问 a 为何值时，函数 取得极值？是极大值还是极小值？ 并求此极值。 若 f (x)在[a, b]上连续， 则 f (x)在[a, b]上的最大值与最小值存在。 最值点 极值 区间端点 驻点、不可导点区间端点 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值, 注意:如果区间内只有一个极值, 例4 3.比较大小, 求出最大值、最小值; 则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 解 计算 例5 造一个容积为 立方米的有盖圆桶，问如何选取半径和高，可使用料最省。 解 设半径为x，高为y 故选半径为2米、高为4米时，可是用料最省 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 例6 设A、B两城分别位于草原与沙漠之中， 两区城的分界线为直线， 求骑手从A到B的最速线。 骑手在草原上的速度为 在沙漠上的速度为 b B a A c 解 O 所用时间： * *