同济大学微积分第3版课件第2章第12节.pptVIP

* 第十二节 一元函数微分学 在经济中的应用 本节要点 本节引入经济学中的两个常用概念: 边际和弹性. 一、边际 二、弹性 一、边际 在经济学中, 经常涉及到以下三个函数: 成本函数 生产 单位产品的总成本; 收益函数 生产 单位产品的总收益; 利润函数 生产 单位产品并 全部销售出去后的总利润. 这三个函数中的自变量 取值为非负整数, 但由于在 实际问题中, 其取值一般都很大, 所以一个单位产品不会 对全局产生大的影响, 因此通常把 看作连续变量, 并且 把上面三个函数看作为可导函数. 对成本函数 当产量为 时, 则平均成本为 对产量 的增量 成本增加量 而增加部分的平均成本为 令 极限 称为这种产品在产量为 时的边际成本, 记为 即 边际成本的意义是: 当产量处于 时, 成本的瞬时变化 率. 同样, 称极限 为边际收益; 极限 为边 际利润. 例1 上海某旅游公司举办市内观光游, 若票价为每人 40元, 则一周游客约1000人, 若票价为每人30元, 则一周 游客约为1400人. 假定游客人数 与票价的关系是线性 关系, 那么为使一周的收益最大, 票价应定为多少? 又若 举办此项观光旅游的一周成本约 （元） 问为使一周的利润为最大, 票价应定为多少? 解 由题意得 即 由此得收益函数: 相应的边际收益为 ⑴ 注意到收益函数是开口向下的抛物线, 所以当边际收益 为零时, 收益达到最大, 此时 代入⑴, 得 （元） 若考虑利润时, 一周的利润函数为 相应的边际利润为 注意到利润函数是开口向下的抛物线, 所以当边际利润 为零时, 利润达到最大, 此时 代入⑴, 得 （元） 二、弹性 一般情况下, 市场上某种商品的需求量 是其商品价格 的函数 称为需求函数. 需求函数通常是 价格 的减函数. 设某种商品的需求函数是 目前价格是 当价格有改变量 需求量的改变量是 此时, 价格的相对改变量为 （%）, 需求量的相对改 令 变量为 （%）, 两者的比 极限 称为在价格为 时的 弹性, 记为 即 弹性 是一个与变量单位无关的量, 它反映了当价格为 时, 商品的需求量对价格变化的反应程度. 一般, 设函数 在点 处可导, 称以下极限 为函数 在 处的弹性, 记为 即 *