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圆锥曲线知识模块 一、定义： 1.第一定义： 椭圆：到两个定点M、N的距离之和为定值2a（2a|MN|）的点的轨迹. 双曲线：到两个定点M、N的距离之差的绝对值为定值2a（2a|MN|）的点的轨迹. 当||PM|－|PN||=2a时点的轨迹是完整的双曲线 当|PM|－|PN|=2a时点的轨迹是双曲线远离点M的一支 当|PM|－|PN|=－2a时点的轨迹是双曲线远离点N的一支 抛物线：到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹. 2.第二定义：到定点的距离与到定直线(定点在定直线外)的距离的比值为定值e的点的轨迹:当0e1时为椭圆;当e1时为双曲线;当e=1时为抛物线. 3.“退化”的圆锥曲线： “退化”的椭圆：到两个定点M、N的距离之和为定值2a（2a=|MN|）的点的轨迹是线段MN “退化”的双曲线：到两个定点M、N的距离之差的绝对值为定值2a（2a=|MN|）的点的轨迹是直线MN上除去线段MN(不包括端点)的射线. 当||PM|－|PN||=2a时点的轨迹是两条射线 当|PM|－|PN|=2a时点的轨迹是以N为端点以向量为方向的一条射线 当|PM|－|PN|=－2a时点的轨迹是以M 为端点以向量为方向的一条射线 “退化”的抛物线：到定点的距离与到定直线(定点在定直线上)的距离的比值为1的点的轨迹是直线（经过定点且垂直于定直线的一条直线）. 二、几何性质（基本元素）： 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (ab0) (a0,b0) y2=2px 焦点 (±c,0) (c2=a2－b2) (±c,0) (c2=a2+b2) (,0) 顶点 (±a,0) (0, ±b) (±a,0) (0,0) 焦距 2c 2c 无 长(实)轴长 2a 2a 无 短(虚)轴长 2b 2b 无 离心率 e=,0e1 e=,e1 e=1 对称轴 x轴,y轴 x轴,y轴 x轴 对称中心 (0,0) (0,0) 无 准线 x= 渐进线 无 无 通经 2p 焦半径 r左=a+ex0, r右=a－ex0 r左=| ex0 +a|, r右= |ex0－a| r =ex0 + 取值范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R x≥0, y∈R 三、求参数的取值范围问题中不等式的来源： 1.点与圆锥曲线的位置关系: 点A(x0,y0)在曲线内,则; 点A(x0,y0)在曲线外,则; 点A(x0,y0)在曲线内,则; 点A(x0,y0)在曲线外,则; 点A(x0,y0)在曲线y2=2px内,则满足y022px0; 点A(x0,y0)在曲线y2=2px外,则满足y022px0; 2.直线与圆锥曲线的位置关系: 直线:y=kx+m与圆锥曲线f(x，y)=0相交后联立方程组消去y得x的一元二次方程,则 直线与圆锥曲线相交△0; 直线与圆锥曲线相离△0; 直线与双曲线左支交于两点△0， x1·x20，x1+ x20; 直线与双曲线右支交于两点△0， x1·x20，x1+ x20； 直线与双曲线左、右两支各交于一点△0， x1·x20 四、直线与圆锥曲线相交问题中的定值或固定结构： 设直线:y=kx+m与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),线段AB的中点为M则kAB·kOM是与圆锥曲线的基本量有关的常数或固定结构. 在椭圆(ab0)中,kAB·kOM=(定值); 在双曲线(a0,b0)中,kAB·kOM=(定值); 在抛物线y2=2px(p0)中,kAB·kOM=(固定结构). |AB|=(固定结构) 另外,在抛物线y2=2px(p0)中过焦点的直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有下列性质: |AB|= x1+ x2+p(固定结构); y1·y2=－p2(定值); |AB|=(为AB的倾斜角) (定值); x1·x2=p2/4(定值). 五、轨迹问题： 求点的轨迹问题中的几种常见方法: 1.定义法: 特征:动点与已知元素(点、线)的关系比较明确 措施:设出动点的坐标（x，y），把它与已知元素的关系(数量关系或位置关系)转化为代数关系列方程求解。 2.相关点法: 特征:动点的运动是由一个已知曲线上的点运动而引起的 措施:设出所求动点（从动点）的坐标（x，y）与已知曲线上运动的点（主动点）的坐标（m，n），寻找出主、从动点之间的关系，用从动点的坐标表示（解）出主动点的坐标，根据主动点在已知曲线上，因此主动点的坐标满足已知曲线的方程，从而列方程化简求解。 3.待定系数法: 特征:所求动点的轨迹比较明确。 措施:设出所求点的轨迹的标准方程或一般式方程，列方程化简求解。 六、对称问题： 设A（x1,y1），B（x2,y2）是曲线f(