向量叉乘分配率证明.docxVIP

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。下面把向量外积定义为：a × b = |a|·|b|·Sina, b.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。下面给出代数方法。我们假定已经知道了：1）外积的反对称性：a × b = - b × a.这由外积的定义是显然的。2）内积（即数积、点积）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c,(a + b)·c = a·c + b·c.这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cosa, b，用投影的方法不难得到证明。3）混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).由i)还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)我们还有下面的一条显然的结论：iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b + c))= (r×a)·(b + c)= (r×a)·b + (r×a)·c= r·(a×b) + r·(a×c)= r·(a×b + a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0所以有a×(b + c) = a×b + a×c.证毕。