2016北师大版选修1-1高中数学4.1.1“导数与函数的单调性”课件1.pptVIP

结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)0，则f(x)在此区间内单调_____； (2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)0，则f(x)在此区间内单调_____. 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_____，其图像比较_____. 利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内不连续点和不可导点． (3)注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0. (4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开. 1.函数y＝3x－x3的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　 B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(1，＋∞) [答案]　C [解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′0，得－1x1，故选C. 2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减少的 B．函数f(x)在区间(1,3)上是减少的 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减少的 D．函数f(x)在区间(3,4)上是增加的 [答案]　A [解析]　当x∈(－3,0)时，f′(x)0，则f(x)是减少的．其他判断均不正确，故选A. 4．若在区间(a，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有(　　) A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＝0 D．不能确定 [答案]　A [解析]　∵在区间(a，b)内有f ′(x)0，且f(a)≥0， ∴函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，∴f(x)f(a)≥0. [方法规律总结]　1.函数的单调区间是定义域的子集，利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不连续点和不可导点． 2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)0和f ′(x)0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． (2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　D [解析]　∵f(x)＝(x－3)ex， ∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f ′(x)0得x2，∴选D. [方法规律总结]　1.本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f′(x)0(或f′(x)0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)0(或f′(x)0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使得f(x)在这个区间上单调，因而已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用数形结合方法求解． 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________． [答案]　a≤－3 已知x＞1，求证：x＞lnx. [方法规律总结]　构造函数，利用导数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法． 已知：x＞0，求证：x＞sinx. [证明]　设f(x)＝x－sinx　(x＞0)， f ′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴x＞sinx　(x＞0). 第四章　§1　1.1 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 ·选修1-1 第四章　导数应用 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导