椭圆与其基准方程.docVIP

三 椭 圆 §2.8 椭圆及其标准方程 一、教学目标 知识教学点 使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标 准方程。 能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。 学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导教学，可以提高对各种知识的 综合运用能力。 二、教材分析 1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。 （解决方法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较。） 2、难点：椭圆的标准方程的推导。 （解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明。） 3、疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因。 （解决办法：分三种情况说明动点的轨迹） 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答。 四、教学过程 椭圆概念的引入 前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答： 问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是 什么？其中哪几个步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正，这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识。 问题2：当a＞0时，√f（x）=a与f（x）=a2是同解方程吗？ 当a＞0时 f（x）=a2 ?（√f（x）-a）（√f（x）+a） =0?√f（x）=a 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形。 问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？ 一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”，对同学提出的轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神。 比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图： 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2 两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图。”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等…… 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义： 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调： （1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”。 （2）这里的常数有什么限制吗？教师边演边提示学生注意：若常数=|F1F2 |，则是线段F1F2 ；若常数＜|F1F2 |，则轨迹不存在；若是轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2 |”。 （二）椭圆标准方程的推导 1、标准方程的推导 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程。 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤。 建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐 标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的。 以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）。设| F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0），F2（c，0）。 （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a} （3）代数方程 ∵|MF1|=√（x+c）2+y2，|MF2|=√（x-c）2+y2， 得方程 √（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a。 （4）化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示： ①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明。整理后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。 ②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲。由2a2c可得a2-c20，令a2-c2=b2则得方程x2/a2+y2/b2=1（ab0）。 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略。 因此，方程x2/a2+y2/b2=1（ab0）即为所求椭圆的标准方程。它表示