3角形常见辅助线的作法专题1.pptVIP

* 一、倍长中线法 遇到中线可以利用倍长中线，构造X全等，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 二、角平分线对称全等 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 方法一： A B C D E 必有结论： 在AB上截取AE=AC，连结DE。 △ADE≌△ADC。 ED=CD， 3 * 2 1 ∠AED=∠C， ∠ADE=∠ADC。 方法二： A B C D F 延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 必有结论： △ABD≌△AFD。 BD=FD， 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ∠B=∠F， ∠ADB=∠ADF。 A B C D M N 方法三： 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 必有结论： △AMD≌△AND。 DM=DN， 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 AM=AN， ∠ADM=∠AND。 （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN） 证明： 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C E 在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换） 3 2 1 * ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∴DE=DC（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角） AD=DE（全等三角形的对应边相等） 证明: 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C F 延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△BFD和△BCD中 ∵ BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△BFD≌△BCD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换） 3 2 1 * ∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） ∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证） ∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠F（等边对等角） ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换） DF=DC（全等三角形的对应边相等） 证明: 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C M 作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵ ∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） 1 2 ∴ ∠4=∠C（全等三角形的对应角相等） N 4 3 3 2 1 * ∴ ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证） AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 证明: 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C M 作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 1 2 N 4 3 3 2 1 * ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）