15第15次课用初等变换法化二次型为基准形正定二次型.pptVIP

第十五次课 掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法 了解惯性定理 了解正定二次型、正定矩阵的概念及他们的判别法 教学内容 教学目标及基本要求 §6.4 正定二次型 §6.3 用初等变换法化二次型为标准形 正交变换化二次型为标准形 重 点 难 点 正交变换化二次型为标准形 1、二次型的标准形不唯一。 2、 即： 标准形中平方项的项数为 设 经适当的满秩线性变换 化为标准形： 是 的秩 惯性定理 (P172) §6.3 用初等变换法化二次型为标准形 则再作一次满秩变换： 可得二次型的规范形： 3、惯性定理： 满秩变换化为规范二次型，且规范性是唯一的。 元实二次型 都存在 negative index of inertia positive index of inertia signature normal form of a quadratic form law of inertia §6.4 正定二次型 一、基本概念 (P173定义6.4.1) indefinite quadratic form positive(negative) semidefinite matrix positive(negative) definite matrix 二、判定 顺序主子式负、正相间 例1 (P175例6.4.2) 小 结 提前预习 作 业 习题6(A)： 总复习 ，判断二次型是否正定 、在实二次型的规范形（或标准形）中， (1)：正平方项的项数称为正惯性指数； (2)：负平方项的项数称为负惯性指数； (3)：称为二次型的符号差。 2、判定（由标准形：） (1)正（负）定 (2)半正（负）定,且至少有一项为0 (3)不定既有正值又有负值 5、合同于：它们的惯性指数相同。 1、Def元实二次型： (1)：，称为正（负）定二次型，为正（负）定矩阵。 (2)：，称为半正（负）定二次型，为半正（负）定矩阵。 (3)：有大于零，也有小于零，称为不定二次型, 为不定矩阵。 1、正定二次型（实对称矩阵为正定矩阵） 。 的标准形中， 即：正惯性指数。 的特征值全为正数。 的顺序主子式全为正数, 即． 2、负定二次型（实对称矩阵为负定矩阵） 为正定二次型 的标准形中， 即：负惯性指数。 的特征值全为负数 的奇数阶顺序主子式全为负数, 即 ； 的偶数阶顺序主子式全为正数, 即 。 判断下列二次型的正定性： (1) (2) 1、正定二次型（实对称矩阵为正定矩阵） 。 的标准形中， 即：正惯性指数。 的特征值全为正数。 的顺序主子式全为正数, 即．