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从勾股定理说数学思想方法 西南大学 主讲：张广祥 数学思想方法 第5讲 从勾股定理说起 提纲：从勾股定理说起 1 教什么、学什么? 2 怎样在教学中导入数学探究 3 从面积测量到勾股定理的发现 4 秦九韶公式 5 希尔伯特多边形剖分定理 6 勾股定理的推广 7 蝴蝶定理的傻瓜证法 1.教什么?学什么? 《高中数学课程标准》基本理念3: 数学学习不应限于接受、记忆、模仿、练习 倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学 养成独立思考、积极探索的学习习惯 新课标的教学要求 《高中课标》设立“数学探究”、“数学建模”、“数学阅读”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利条件，以激发学生的学习兴趣和创新潜能 未来的教师怎么办？ 通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程 这是“金牌之路”吗？ 传统应试教育:学生的练习3题 1.(x)=(m-1)x2+[1-lg(m)]x+1是偶函数,求(10)、 (-3.1)、 (2)的大小顺序 2.(x)=ax2+bx+c(a0)对任意x都有(2-x)= (2+x),求不等式[lg ½(x2+x+1/2)] [lg ½(2x2-x+5/8)] 应试教育:学生练习题 3.函数y=1-2a-2a cos x-2 sin2x的最小值为(a). (1)求(a)的表达式.(2)若(a)=1/2,求a,并对此a求y的最大值. 解 y=1-2a-2a cos x-2(1-cos 2x) =2(cos x- a/2)2- (a2/2-2a+1 ) 注 题摘自《金牌之路—高中竞赛辅导》 2 从勾股定理看：怎样在教学中导入探究 平凡的定理 直观的问题 观察与想象 发现与证明 陈省身：几何学的最重要定理 几何学家陈省身说： 中学几何中最重要的就是“三角形内角和定理”与“勾股定理”，其它如“等腰三角形定理”就没有那么重要了。 三角形内角和定理是欧几里得几何的一个基本定理，在非欧几何中它是不对的，这也是欧氏几何与其它几何不同的地方； 勾股定理也重要，这个定理讲的是长度，长度和角度都很重要。几何是从GEO翻译过来的，就是讲量度。 ——摘自陈省身先生访谈录，数学通报第44卷2005 三个不同教学层次 知道勾股定理 证明勾股定理 发现勾股定理 知道勾股定理：简单 知道勾股定理 定理 a2+b2=c2 证明勾股定理：不困难 最经典的证明1： 勾股定理证明2 图形最简洁的证明： c2=2ab+(b-a)2=a2+b2 勾股定理证明3 图形最怪异的证明： 发现勾股定理 教学不容忽视的问题： 勾股定理再发现 被误解的发现 数方格发现勾股定理： 被误解的发现 简单的验证并不是真正的发现 再发现：亲历的体现；亲历的思考 3从面积测量到勾股定理的发现 土地测量导致最初的几何学 一个自然的问题 土地测量是否可能导致 勾股定理的发现？ 九章算术：面积出入相补 数学家怎样看“面积拼补”？ 数学家的问题；我对“发现”的观点 怎样把两个正方形剖分拼补成为一个正方形？ 游戏一般的问题： 真正的数学由此产生 赵爽弦图:对再发现的启示 青方、朱方、弦方 赵爽弦图：提示勾股定理的发现 刘徽：出入相补（Hilbert:面积剖分） 问题是数学发展的动力 伽罗华（E.Galois 1811-1832）说： 最有价值的科学书籍是作者在书中明白指出了他所不明白的东西的那些书.遗憾的是,这还很少被人们所认识;作者由于掩盖难点,大多害了他的读者. 出入相补:刘徽公式 2股股弦和=股弦和2-勾2 勾方 1 1 4 秦九韶公式 秦九韶公式：勾股术的精彩应用 秦九韶公式=海伦公式 秦九韶公式证明（1） 只要证明 股= 秦九韶公式证明（2） 勾2=弦2-股2=(b2-h2)-(c2-h2)=b2-c2. 由刘徽公式 股= = 矩形剖分定理: 5 Hilbert多边形剖分定理 定理 两个多边形面积相等则必剖分相等. 证 [多边形]=[若干三角形]=[若干矩形] =[若干正方形]=[一个正方形]（剖分相等） 问题1.几何角度:如何以面积方式推广勾股定理？ 问题2.代数角度: (a)三角形两边之和大于第三边（ab+c）. (b)直角三角形a2+b2=c2. 怎样统一上面两个命题? 6 勾股定理推广 勾股定理推广：几何方式 思路:1+2=3. 定义 ABC的补ADE. 1 2 3 A B C D E 补三角形外积圆直径 已知ABC 补ADE 定理*三角形两短边(交点A)上正方形面积的和等于补三角形过A