选修1-1第二章第三节抛物线知识点与题型.docVIP

抛物线知识点及题型 一、知识点 抛 物 线 定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 {=点M到直线的距离} 范围 对称性 关于轴对称 关于轴对称 焦点 (,0) (,0) (0,) (0,) 焦点在对称轴上 顶点 离心率 =1 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 焦 点弦 长 焦点弦的几条性质 以为直径的圆必与准线相切 若的倾斜角为，则 若的倾斜角为，则 切线 方程 直线与抛物线的位置关系　　直线，抛物线，　　，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时， Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线： 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法： 设交点坐标为，，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得 在涉及斜率问题时， 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，， 即， 同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 【解析】(1)易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 例2、(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2)　　　B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 【解析】圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋24，解得y02，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 (　　) A．4 B．3 C．4 D．8 【解析】设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4. 例4、过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 (　　 ) y2＝x　　　B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 【解析】分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝