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习题集 1．如图，在Rt三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC点D是AC边上的中点，E是斜边上任意一点，连接BE并延长，过A点作BE的垂线垂足为G，延长AG交BD于F； 求证：DE=DF； 2．如图，在三角形ABC中，M是AB的中点，延长BC到D，使BC=2CD，过点D作DN∥MC交AC于N连接MN； ①求证：四边形MCDN是平行四边形； ②当∠ACB等于多少度时，四边形MBDN是等腰梯形？并证明你的猜想； 3.如图在平行四边形ABCD，AB⊥AC，AB=2，BC=；对角线BD、AC交于点O，直线AC绕O点顺时针旋转与AD、BC分别交于点E、F； ① 当旋转角为90°时，判断四边形ABFE的形状，并说明理由； ② 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，说明理由；如果能，说明理由，并求出此时，AC绕点O顺时针旋转的度数。 【解】： 当旋转角为90°时，EF⊥AC，AB⊥AC ∴AB∥EF，又AE∥BF ∴ 四边形ABFE是平行四边形； ② ∵AC= AO=2=AB ∠BAC=90° ∴∠AOB=45° 容易证明四边形BEDF是平行四边形； ∴当BD ⊥ EF，即∠BOE=90°时，平行四边形BEDF是菱形； 此时，∠AOE = 90°- 45°= 45° 4.如图，在正方形ABCD中，将直角三角板的直角顶点P在对角线BD的移动，使得一条直角边经过C点，另外一条直角边和AB交于Q点，连接QC； 求证：∠PQC=∠DBC； 如果将上图中的正方形改为矩形，其它条件不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC； 如果将上图中的正方形改为直角梯形，其它条件不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC； 请你对②和③进行判断，并选择一个说明理由； 【QC所对的角都是是直角；】 5.如图，矩形ABCD中，DP平分ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于点E，找出图中与PA相等的线段，并说明理由. 6．已知点E、F是矩形ABCD两边AB、DC上的点，且AE=CF，BE=BF，连接AC、EF交于点O，∠FEB=2∠CAB； ① 求证： OE=OF； ② 若BC=，求AC的长； 7.如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是BA延长线上的一点，若CD⊥DE，EA⊥AB，EB⊥BC，连CE和AB交于F；当AD=3时，求EF的长。 【解】∵CD⊥DE，EB⊥BC ∴点C、B、E、D共圆； ∵AC=BC ∴∠CBA=45°∴∠DEC=45° CD⊥DE ∴∠DCE=45° ∴CD = DE ∠DBE=∠DCE= 45° 又AE⊥AB ∴ ∠AEB= 45 ∵∠EDB=∠ECB ∴Rt△ADE∽Rt△BCE 设BC=a 则AB= BE=2a 由相似比得：AE=AE=6 ，BE= BC= ∴DB=9 由勾股定理DE= ， EC= ； 在圆中 △DEF∽ △CBF ∴DE：BC=EF：BF=DF：CF 设EF= x ， AF= y ，DB =9 得 EF= 8.如图P为Rt△ABC 所在平面内任意一点，（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB的中点，以PA、PC为边作平行四边形PADC；连接PM并延长到E点，使PM=ME；连接DE。 请你猜想出与DE相关的3个正确结论，并加以证明； 若将“Rt△ABC”改成“任意△ABC”，其它条件不变，在图2中画出图形，写出与DE有关的结论。（直接写出答案） 解：①连接BE 在△APM和△BEM中 ∵AM=MB PM=PE ∠AMP=∠BME ∴△APM≌△BEM ∴BE=AP 可以推出BE∥AP 又CD∥AP且CD=AP ∴BE∥CD且BE=CD ∴四边形CDEB是平行四边形； ∴DE=BC，DE∥BC 而AC⊥BC ，DE∥BC ∴DE⊥AC； ② 9. 某工厂计划生产A、B两种产品。其生产的成本和利润如下表： A产品 B产品 成本（万元） 2 6 利润（万元） 1 3 若工厂计划获利14万元，两种产品应分别生产多少件？ 若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元；问工厂有哪几种生产方案？ 在②的条件下，哪种方案获利最大？并求出最大值。 【】提出问题：在△ABC中，已知AB= ，BC= ，AC= ，求△ABC的面积：在解答时先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长都是1）再在网格中画出这个格点三角形。从而借助网格求出三角形的面积。 请你将三角形ABC的面积写出来； 问题延伸：我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法；若△ABC三边长分别为2a, 3a 、 （a 0）请你用上述正方形网格（每个正方形边长为a）,画出相应的三角形，并求出其面积。 探索创新：若三角形三