2016年全国中考真题分类解析锐角三角函数与特殊角.docVIP

锐角三角函数与特殊角 一.选择题 1.（2016·山东潍坊·3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值． 【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根， ∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0， 解得：sinα=， ∵α为锐角， ∴α=30°． 故选B． 2. （2016·陕西·3分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D．2 【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义． 【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算． 【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0）， ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴顶点C（﹣1，4）， 如图所示，作CD⊥AB于D． 在RT△ACD中，tan∠CAD===2， 故答案为D． 3．（2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可． 【解答】解：∵D（0，3），C（4，0）， ∴OD=3，OC=4， ∵∠COD=90°， ∴CD==5， 连接CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD， ∴sin∠OBD=sin∠OCD==． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 4.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　） ①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】四边形综合题． 【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF=BE， 在△ABE和△BCF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确； 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90° ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， 令PF=k（k＞0），则PB=2k 在Rt△BPQ中，设QB=x， ∴x2=（x﹣k）2+4k2， ∴x=， ∴sin=∠BQP==，故③正确； ∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF， ∴△BGE∽△BCF， ∵BE=BC，BF=BC， ∴BE：BF=1：， ∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5， ∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误． 故选：B． 5．（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴cos∠ABC==． 故选D． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 6.（2016·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　） A．2B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定