毕业论文之Stolz定理的应用及推广.docVIP

本 科 生 毕 业 设 计 (论 文) 题目： Stolz定理的证明及其应用 Proof of Stolz theorem and its application 教学单位 计算机科学与技术学院 姓 名 _陈 云 清______ 学 号 200831105031 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 指导教师 杨 杰 职 称 年 月 日 Stolz定理的证明及其应用 确定函数的不定式极限是数学分析课程中的一个重要内容，不定式的基本类型是和型，它们之间可以互相转化，对于可导函数来说，纵所周知，Lhospital是对可导函数不定式极限的一个重要工具。但是对于不可导的函数而言，确定函数不定式极限值就比较复杂。而Stolz定理是求不可导函数不定式和的一种有效方法。 一，定理的叙述： 设是严格单调增加的正无穷大量，且 （可以是有限量，与），则 。 二，定理的证明： 先考虑当=0时的情况。 由，可知，，： 。 由于是正无穷大量，显然可要求，于是 。 不等式两边同时除以，得到 ， 对于固定的,又可以取到,使得：，从而 。 当是非零有限数时，令，于是由 ， 得到，从而 。 当时，首先,: 。 这说明也严格单调增加，且从可知是正无穷大量。 将前面的结论应用到，得到 ， 因而 。 对于的情况，证明方法类似。 三，Stolz定理在数列极限中的应用 定理 设是实数列，若（为有限，与），则 。 证明： 令，由Stolz定理可知 。 例 定理 设实数列，如果则 。 证明： 。 例 定理 设数列收敛于（有限或无限），算数平均数列，则 。 证明：令，，由定理2， ， ，所以 。 例 定理 已经和是两个实数列，若为有限、或，关于单调增加且，，则 。 证明： 取，，则，，显然，严格增加且趋于。由Stolz定理有 。 可以看出，在求分子，分母为求和型极限时，用Stolz定理及相关推广定理有很大的优越性。 四，Stolz定理在函数极限中的应用 定理 设函数在区间上有定义，且在任何有限子区间内均有界； 函数是上单调增加的函数，且； 存在（有限数，或）； 那么必有 证明： 设 当=时 此时对，，使当时，有 由假设知，函数在上单调增加，故，于是 由此对任意的自然数,便有下面不等式成立 ...................... 将上面的不等式相加得到 于是有 上式对及任意的自然数均成立，特别满足的成立。 由实数系的连续性可知对，都可以表示成其中 取我们就有不等式 由假设知，,且当时，。对于及成立 因此 对,,使得上式成立。 由有界，故使得；又单调增加，故,使得。因此 上式对成立，其中、及为与无关的常数。 令,因为，故对,满足使得当时，。 所以有 所以我们就证明了对,，当时 故 （2）当时 对,存在着整数,使且当时 ， 所以有 我们就有对,下列不等式成立 对且，总有某个实数，使得下式成立 当时，函数和都有界，又，所以有 于是存在着正数,,使得当时，同时有及 所以有 变形得到 由时，函数和都有界，， ，所以 由此,当时 所以有,由的任意性，我们便证明了： 对，,使当时，有 所以当时有 同理当时，也有 证毕。 推论1 设 在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界； 是上的单调减少函数，并且； 存在（有限数，或) 则 定理2 设 在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界； 是上的单调减少函数，并且； 存在（有限数，或)； 则 证明： 推论2 设 在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界； 是上的单调增加函数，并且； 存在（有限数，或)； 则 Stolz定理的证明及其应用 1