上海初三数学锐角三角函数.docVIP

第五讲 锐角三角函数 【问题探索】 一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：成立吗？ （1）当A变化时，上面等式仍然成立吗？ （2）上面等式的值随A的变化而变化吗？ 【新课引入】 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 1、在直角三角形中，我们将A的对边与它的邻边的比称为A的正切，记作 tanA即： 同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、如图，在Rt△ABC中，C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的______，记作________，即：sinA＝________=________. 3、如图，在Rt△ABC中，C＝90°,我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考： 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表： 30° 45° 60° sinθ cosθ tanθ （根据一付三角板的三边关系进行计算） 【总结归纳】 1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键； 2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 【精选例题】 （一）锐角三角函数的概念 例1、（1）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 （2）Rt△ABC中，C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（ ） A．8cm B． C. D. （3）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BC=6cm，那么tan为（ ） A． B． C． D. 解析： （1）角A的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt△ABC各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。故选A； （2）画直角三角形草图，根据cosA=可知，，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。故选A； （3）画菱形ABCD，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan=。故选A。 前思后想： 解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。 牛刀小试： 1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值 ( ) A．都缩小 B．都不变 C．都扩大3倍 D．无法确定 2．如图，在正方形网格中,直线AB．CD相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A. B. C. D. 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（ ） A． B． C． D． 4. 在Rt△ABC中，ACB=90°，sinB=则cosB= . 5．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则tanB= ． 答案： 1．B； 2. C； 3. C； 4. ； 5. （二）特殊角的三角函数值 例2 计算下面各式： ② 解析： == ②== 前思后想： 关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。记住三角函数值最关键。 例3. 已知A是锐角，且sinA=，那么A等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 解析： 根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°=，进行反推，可知A=60°，故选C。 前思后想： 对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。 牛刀小试： 1．计算：（1） （2）2.已知为锐角，当无意义时，求tan(+15°)—tan(-15°)的值。 3.若，则= , 4．在△ABC中，若，则C的度数为