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§6立体几何 1、长方体与正方体的性质 （1） 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. （2） 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是 ?，?，? ，则 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ?1 (3） 长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是?1 , ?2 ,?3 ，则 sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ?3 ?1 （4） 正方体的对角线与不相交的面对角线垂直； （5）正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于 900 的二面角都等于 600 . 3、四面体的性质 （1） 连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段. （2） 连接四面体对棱中点的线段交于一点 G ，且这点将所在线段分成的比为 3：1， G 称为四面体重心. （3） 四面体的二面角的平分面分对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比. （4） 每个四面体都有内切球，球心 I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径.设四面体四个面的面积分别为 S1 、S2 、 S3 、 S4 ，V 表示它的体积， r 表示内切球的半径， h1 、h2 、 h3 、h4分别表示各顶点到对面所作的高，有 （5） 每个四面体都有外接球，球心 O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各个顶点的距离等于球半径. 4．求异面直线所成的角 (1)(平移法)过P作,,则与的夹角就是与的夹角; (2)证明(或),则与的夹角为(或); (3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角(). 5,求直线与平面所成的角 (1) (定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角; (2) 证明(或),则与的夹角为(或); (3) 求与的法向量所成的角,则与所成的角为或. ．求二面角 (1) (直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线, 交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F 的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”). (3) (异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角 的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FB AB于B,而,,. (4) (三面角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角 ,则. .求两点A,B间距离 (1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求. .求点到直线的距离 (1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. .求点到平面的距离 (1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高. .求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线, 则与的距离等于P到的距离; (6)(公式法). .求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 二、解题思想与方法1.空间想象能力; 2.数形结合能力; 3.平几与立几间的相互转化; 1、异面直线的相关问题。 例1 正方体，ABCD—A1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。 [解] 连结AC，B1C，因为A1AB1BC1C，所以A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC。 所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。 2、平行与垂直的论证。 例2、 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。 [证明] 若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为α，过D作DD1α于D1，图，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面α，又ABα，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以∠AD1C=900，但AD1AD,CD1CD，所以AD2+CD2=AC2=，与AD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四边形，所以它是矩形。 例3、在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使AC=