每日一题–平面向量.docVIP

1.（2013年海南13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 答案：2. 详解：以点B为原点，BC、AB为x、y轴建立直角坐标系如下图： 因为正方形ABCD的边长为2，所以A、D、E三点的坐标分别为A（0,2），D（2,2），E（2,1），所以向量 所以， 评注：建立直角坐标系是平面向量及立体几何中常用的方法。 2.（2012年海南13）已知向量夹角为 ，且；则 【解析】 3.（2011年海南10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题： ：；：； ：；：。 其中的正确的命题是（　　） A． 　B． C． 　　D． 答案：选A. 详细解答：对不等式两边平方得，，因为与均为单位向量，所以即所以，，又因为，由余弦函数在的图像，如下图所示， 所以。 同理可知，也是正确命题。 4.（2009年海南）已知O，N，P在所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是的（ ） A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形状的垂心） 解：由结合下图知， 点O是三条边的垂直平分线的交点； 同时点O也是外接圆的圆心。 由,,结合图形知， , 又.所以，D是BC边的中点，同理可证，E、F分别是AC、AB边的中点，即N是三条边上的中线的交点，即N是重心。 由得， ，所以P是三角形ABC的三条高线的交点，即垂心。 5.（2008年海南）平面向量a，b共线的充要条件是（ ） A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．， D．存在不全为零的实数，， 答案：选D。 解析：A.若a,b方向相同，那么a,b共线，反过来，若a,b共线，a,b方向不一定相同，所以A不对； B．若a,b两向量中至少有一个零向量，那么a,b共线，反过来，a,b共线，那么a,b不一定有一个零向量，所以B不对； C．如果，，那么a，b共线，反过来，如果a，b共线，且，那么对任何实数而言，都没有，所以C不正确； D．正确。如果存在不全为零的实数，，不妨设，所以a,b共线，反过来容易证明也是成立的。 6. （2008年海南13改编）已知向量且，则　　　　． 答案：3. 解析：因为，所以， 7. （2007年海南13）已知平面向量，则向量（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D。 8. （2006年海南9）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则 A． B． C． D． 答案：A。 9.（2005年海南）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= . 答案：1. 解析：取特值法，取三角形ABC为等腰直角三角形，则 所以，m=1. 10. （2013年辽宁数学）已知点 B． C． D． 【答案】A 11. （2013年福建）在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为 （　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C ,所以即AC⊥BD，四边形ABCD的对角线互相垂直。而对角线互相垂直的四边形的面积=对角线之积的一半，即 所以，. 12.（2013年高考湖南）已知是单位向量.若向量满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A ，所以，，又，即，所以，变成：， 即。 13. （2013年大纲版数学）已知向量,若,则 B． C． D． 【答案】B 即所以， 14. （2013年湖北卷）已知点，，，,则向量在方向上的投影为（） A． B． C． D． 【答案】A 而，设的夹角为，那么，方向上的投影为== 15. （2013年上海市春季）已知向量,.若,则实数 ___ 【答案】 ．（2013年山东）已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________. 【答案】 解析： -=0，所以，. 17. （2013年高考新课标1）已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____. 【答案】=. 解析： 18. （2013年北京）向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),则=_________. 【答案】4 ，则又因为 ，所以，， 19. （2013年浙江）设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________. 【答案】2 而 ，所以， ，令t=，则，设s=，则二次函数s== ，即s的最小值为，所以，，即即即的最大值（2013年江苏）设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为