新华教育高中部数学同步人教A版必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系–空间点、直线、平面之间的位置.docVIP

空间点、直线、平面之间的位置关系 学习过程 知识点1：平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 图形语言表述： 符号语言表述; 公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。 公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。 图形语言表述： 符号语言表述; 公理2的作用;一是确定平面，二是可用其证明点、线共面问题。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述： 符号语言表述; 公理3的作用：其一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。 符号语言表述： 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。 知识点2：空间中直线与直线的位置关系 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线夹角的取值范围: . 知识点3：空间中直线与平面之间的位置关系 （1）、直线在平面内——有无数个公共点； （2）、直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）、直线与平面平行——没有公共点。 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 知识点4：平面与平面之间的位置关系 （1）、两个平面平行——没有公共点； （2）、两个平面相交——有一条公共直线。 典型例题 例题1 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m， （I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为； （Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。 答案：（1） （2）的中点 解析：（I） 故。所以。 又. 故 在△，即. 故当时，直线。 （Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得. 可推测的中点即为所求的点。 因为，所以 又,故。 从而 例题2已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。 （I）证明: ； （II）求异面直线所成的角的余弦值； （III）求点到平面的距离。 解析：（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。 从而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。 （Ⅱ）连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。 取OC的中点N，连接PN。 因为，所以 ， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。 连接BN。 因为． 所以。 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。 过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。 连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。 又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。 即点P到平面QAD的距离是。 例题3 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。 证明平面 解析：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点, ∴EB//FD，且EB=FD， ∴四边形EBFD为平行四边形。 ∴BF//ED ∵ 平面AED,而BF平面AED ∴平面. ∴。