奥林匹克题解几何篇.docVIP

第三章、几何 第一节 平面几何证明(上) ??? C1－001 ?已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上，MN的中点S作等腰三角形的底边的平行线，交两腰于点K和L．证明：线段MN在三角形底边上的正投影等于线段KL． 【题说】? 1956年～1957年波兰数学奥林匹克三试题2． 【证】? 设M、N在直线KL上的射影分别为D、E，由于MS=SN，所以MD=NE．由于AB=AC，KL∥BC，所以∠DKM=∠AKL=∠ALK，又∠MDK=∠NEL=90°，所以△MDK≌△NEL，DK=EL，从而DE=KL，即MN在BC上的正投影等于KL．? C1－002? 设四边形ABCD内接于圆O，其对边AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD延长线于点M，自M引MT切圆O于T点，则MT=ME． 【题说】? 1957年南京市赛初赛5．利用切割线定理和相似三角形． 【证】? 四边形ABCD内接于圆O，故∠1=∠2．由ME∥AC，得∠2=∠4，又∠1=∠3，所以∠3=∠4，又∠EMB=∠DME，所以△EMB∽△DME．从而有 即 ME2=MB·MD 所以?????MT2=MB·MD=ME2 即??????? MT=ME? C1－003? 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形． 【题说】? 1957年北京市赛高二题4． 【证】? 设直角△ABC的斜边长为c，两直角边长为a、b．易知 R=c/2 所以?????a=b．? C1－004? 任意四边形ABCD的对角线AC与BD相交于P，而BD与AC的中点是M与N，设Q是P关于直线MN的对称点，过P作MN的平行线，分别交AB、CD于X、Y，又过Q作MN的平行线，顺次交AB、BD、AC、CD于E、F、G、H．试证： 1．EF=GH； 【题说】? 1963年成都市赛高二二试题4．同本届高三二试题4． 【证】? 1．P、Q关于MN对称，所以MN平分PQ，又FG∥MN，所以MP=MF，从而BF=PD，BP=FD． 同理，有AP=CG，AG=PC． 比较（1）、（2）得EF=GH． ? C1－005? 在内角都相等的凸n边形中，设a1，a2，…，an依次为边的长度，而且满足不等式 a1≥a2≥…≥an． 证明：必有a1=a2=…=an． 【题说】? 第五届（1963年）国际数学奥林匹克题3．本题由匈牙利提供． 【证】? 当n为奇数时，设n=2k+1（k为正整数），∠A2A1An的平分线A1B交Ak+1Ak+2于点B（如图）． 由于已知n边形的各角都相等，所以A1B⊥Ak+1Ak+2，因此折线A1A2…Ak+1与折线A1An…Ak+2在这条角平分线上的射影都等于A1B．另一方面，A1A2≥A1An，并且它们与A1B的交角相等，所以A1A2的射影≥A1An的射影．同理A2A3的射影≥AnAn－1a1=a2=…=an． 当n为偶数时，作A1A2的中垂线L．考虑各边在L上的射影，同样可得a1=a2=…=an．? C1－006? 在平面上取四点A、B、C、D，已知对任何点P都满足不等式PA+PD≥PB+PC．证明；点B和C在线段AD上，并且AB=CD． 【题说】? 1966年全俄数学奥林匹克九年级题2． 【证】? 由于点P是任意的．可以取P=D，则应有AD≥BD+DC；若取P=A，则有AD≥AB+AC．将二式相加，得 2AD≥AB+AC+BD+CD??????????????????????????????? （1） 然而另一方面，总有AD≤AC+CD及AD≤AB+BD．因此又得 2AD≤AB+AC+BD+CD???????????????????????? （2） 由（1）、（2）知 2AD=AB+AC+BD+CD 从而其他4个不等式中皆取等号，亦即B、C两点一定在线段AD上，而且AB=CD． C1－007? 凸多边形内一点O同每两个顶点都组成等腰三角形，证明：该点到多边形的各顶点等距． 【题说】? 第六届（1972年）全苏数学奥林匹克九年级题6． 【证】? （1）如果凸多边形是△ABC，则结论显然成立． （2）对n（n＞3）边形，设A、B、C为多边形的任意三个顶点，则C或在AO、BO的反向延长线组成的夹角内（图a），或C在该角外，即该角与多边形的边DE相交（图b）． 在图a中，点O在△ABC内，由（1），AO=BO=CO． 在图b中，点O在△BDE和△ADE内，故有AO=DO=EO=BO．? C1－008? 设有一圆，它与∠O两边相切，切点为A、B．从点A引OB的平行线，交圆于点C，线段OC与圆交于E，直线AE与OB交于K．证明：OK=