人教B版高中数学选修2-2第1章1.3第2课时“利用导数研究函数的极值”课件.pptVIP

苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点． 那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 1.如何利用导数求函数的单调区间？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？ 答案：1.在函数定义域内，由f′(x)0可得函数的增区间，由f′(x)0可得函数的减区间． 2．设y＝f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：?x∈I，都有f(x)≤(≥)M，且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，则称M是y＝f(x)的最大(小)值. 一、函数的极值 1．函数极值的概念 已知函数f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点． 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值． (3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 2．极值与导数的关系 如图(1)，若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)0. f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　D 注意：(1)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值，最小值步骤： ①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点； ②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，则可直接利用单调性法求函数的最值，即若f(x)在[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． 2．极值与最值的关系 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是函数在某一点及其附近的局部性概念，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值． 下列结论正确的是(　　) A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值 B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值 C．在区间[a，b]上，函数在x＝a和x＝b时取得最大值和最小值 D．一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x))在[a，b]上必有最大值和最小值 [答案]　D [解析]　由于函数在给定的闭区间上不一定有极值，但必有最值，且最值有可能在端点处取得，也有可能在极值点取得，因此前三个选项都不正确． 三、函数极值与最值的应用技巧 (1)确定参数的值，这里一般用待定系数法． (2)求参数的取值范围，运用化归与转化的思想方法． (3)判断方程根的变化．这里一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数极值的情况画出函数f(x)的草图，再观察方程的根，或转化为函数的零点问题． (4)证明不等式 这里一般是先构造函数，再根据函数的最值来证明不等式． 求含参数的值域问题时，通常对参数进行分类讨论． 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a，b，c的值． 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． [分析]　利用求最值的方法确定a、b的值，注意对a的讨论． [辨析]　根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性． [正解]　由错解得当a＝1，b＝3时，f′(x)