关注几何本质,例谈解析几何解法.docVIP

关注几何本质，例谈解析几何的解法 莆田六中 祁国伟 解析几何是代数与几何的完美结合，也是代数解决几何的典范，在高考中是必考模块，其重要性不言而喻，但由于其计算量大，代数思想渗透多，导致学生在学习过程中大量陷入误区。根据笔者的教学实践，很多同学在解决解析几何时常用三板斧：求方程，联立方程，韦达定理，然后就不做，也不会做了。其实这种思维只重视代数，而忽视了几何本质。我们知道解析几何产生的最大目的就是利用解析方法来解决几何问题，它的根本目的是为了解决几何问题，所以我们应该以几何问题为导向，关注几何本质，以几何为切入点，更易找到解题之路。 解决解析几何应该有这么三个环节，①理清几何问题；②几何问题代数化；③代数思想（方程思想）解决。其中第一步是前提，第二步是关键，本文将通过几个例子说明常见几何问题的分析和代数化。 几何问题归根结底只有两类：位置关系和度量关系。位置关系是指两个曲线间的交点情况等，度量关系指平面内的长度和角度问题。 例1（2010福建省质检理科19）：已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点。K*S5#U.C^OM （Ⅰ）求双曲线的方程；K*S5#U.C^OM （Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值 试类比上述命题，写出一个关于双曲线的类似的正确命题，并加以证明 【分析】（Ⅰ）问比较常规，在轴上的射影即表明垂直关系，不难解决。 （Ⅱ）问中的垂直平分线可以体现为垂直关系和中点问题，几何目标为距离问题，可以用两点间距离公式求出。问题可以解决。 解：（1）略，解得方程为 （2）关于双曲线的类似的正确命题为双曲线的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是” 证明如下:由于与轴不垂直,可设直线方程为 ①当时，，，命题成立。 ②当时，由得 由已知两个交点可知且。 设， 则， 所以线段的中点的坐标为 的垂直平分线的方程为： 令，解得，即 所以= 又 所以 【总结】若遇到距离问题，在解析几何中处理方法如下:若为线段长，则表示为两点间距离，用公式求解，包括常见的弦长公式；若为点线距离，则用点线距离公式，如三角形中高线的求解。 例1（2010莆田市质检理科20）：已知点（-1，0）、（1，0），平面上的动点满足，记动点的轨迹为曲线。过点作直线交曲线于两点、，为线段的中点，过点作轴的平行线与曲线在点处的切线交于点。 （Ⅰ）求曲线的方程。 （Ⅱ）试问点 是否恒在一条定直线上？证明你的结论； （Ⅲ）若直线平分，求直线的方程。 【分析】（Ⅱ）问的几何本质是点与直线的位置关系，取决于点坐标与直线方程的关系，所以代数目标就是求出点A的坐标。其中关键是求出曲线E在点处的切线方程，在解析几何中常转化为方程组的解个数问题，但若曲线为抛物线，也可以用导数几何意义解决。 （Ⅲ）问的几何目标是角度，注意到有一边平行于轴，所以考虑用倾斜角表示。 解：（Ⅰ）略。曲线的方程为 （Ⅱ）设，，由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方，则。 由抛物线上半支方程得，所以抛物线在点M处的切线AM的斜率 所以直线AM的方程为。。。。① 设直线MN的方程为，【此处这么设直线方程是为了避免斜率存在性的讨论及AG方程的求解】 由得 则所以必有两个交点。 所以MN的中点，直线AG的方程为。。。② 联立①②可得【这就是点A的横坐标，接下来应该对它进行化简】 因为点M在曲线E和直线MN上，所以， 所以 即点 所以点恒在定直线上 （Ⅲ）因为 ∥轴，且平分，所以 由（Ⅱ）可知， 所以，又，代入得，所以 MN的方程为 结合抛物线的对称性，直线MN的方程为或 【总结】本题（Ⅱ）问出现了考试中常见的定点、定直线问题，这类问题不应该纠结与怎么找定点、定直线，而应该关注它的几何本质即点与直线的位置关系。直线过定点，则关键在于如何求出这条直线的方程，点在定直线上，则关键在于如何求出这个定点的坐标。（Ⅲ）问中的角度问题在新课标中不好表示，若有一边为水平或竖直，则应该联系倾斜角，否则一般用向量夹角来表示。由于向量夹角计算量过大，所以在考题中非常少见，主要以与倾斜角有关为主。 例3：如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A。 （I）求抛物线E的方程； （II）求证：点S，T在以FM为直径的圆上； （III）当点M在直线上移动时，直线AB恒过焦点F，求的值。 【分析】（II）问