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关于连接物体运动的合成与分解问题讨论 吴明辉 赵中泽 杨国平 （云南省昆明市云南大学附属中学 650000） 电子邮箱：minghuiwu22@；电话摘要：连接物体运动的合成与分解问题在中学里经常遇到，解决这类问题主要用“微元法”和“速度分解法”，两种方法的使用各有其特点，我们通过实例对其加以说明。同时，对使用“速度分解法”时学生容易犯的错误进行讨论。 关键词：连接物体、运动的合成与分解、“微元法”、“速度分解法”。 在连接物体运动的合成与分解问题中，我们经常遇到两个物体通过一根绳子跨过定滑轮连接在一起时，已知一个物体的速度，求解某一条件下另一物体的速度。对于这样的问题，我们通常使用“微元法”和“速度分解法”进行求解。如下面这一个我们十分常见的例子。 实例1、如图1所示，在水平面上放一个物体，一辆小车通过不可伸长的细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动。若车以大小不变的速度v运动，当绳子与水平方向成角时，物体前进的瞬时速度是多少？ 解析：方法一、“微元法” 物体以质点表示，在很短的时间内，物体由位置A向前运动到B点，绳与滑轮的接触点记为O点，在OA上取OB的等长OC，连接BC。 设时间内物体的位移为，小车的位移为。则AC=，AB=，如图2所示。由于时间很短，绳子OA旋转到OB的角度也很小，而OC=OB，则可近似，得：，而AC=，AB=，所以，设物体的速度为，又由于时间很短，平均速度等于瞬时速度，，所以，。 方法二、“速度分解法” 物体在前进的过程中，它的合速度水平向左，相对于O点，其运动达到了两个效果，即：沿绳子方向靠近O点和绕O点旋转，根据其效果，把合速度分解到沿绳子方向的v1和垂直于绳子方向的v2，分别叫径向速度和切向速度，描述物体靠近O点和绕O点旋转的快慢。如图3所示。 可得：，而v1=v，即：。 由以上的分析可知，在这类题目中，用“微元法”一般会比较麻烦，用“速度分解法”则显得比较简单。但是，用“速度分解法”则必须注意分速度与其它已知的速度之间是否有直接的关系，如下一题的情况。 实例2、如图所示，两定滑轮间距离为，质量相等的小球和通过绕过定滑轮的绳子带动小球上升，在某一时刻连接球两绳夹角为时，、两球下落的速度为，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不伸长。此时球上升的速度是多？ ，其方向向上。经过很短的一段时间，到达其上方D点，在OC上取与OD等长的一段OE，连接DE，设在该段时间内A的位移为，C的位移为，CD=，CE=。由于很短，则，近似取900，那么DE垂直于OC，得：，即：，又由于时间很短，平均速度等于瞬时速度。 有，可得：。 方法二、“速度分解法” 此题在运用“速度分解法”时，学生特别容易出现如图6所示的分解方法。把vC分解到两根绳子的方向，分别为v1和v2。根据对称性，得到。在合速度vC和分速度v1、v2所构成的矢量三角形中，根据正弦定理，有：。又由于v1沿绳子的方向，所以v1=v，则：。而这一结果是错误的，那问题出在哪里呢？那是因为想当然的认为v1等于v了。v等于绳子缩短的速度，但v1不等于绳子缩短的速度，因为v2还会影响到绳子缩短的速度。 关于这一点，我们可做如下讨论以证明。 把分解到到绳子方向和其垂直方向，分别为和，如图7所示。此时可看出，和在绳子OC方向，而与该方方向垂直，绳子OC方向的运动和垂直绳子OC方向的运动具有独立性，互不影响，绳子OC方向的速度体现了绳子OC的缩短快慢，其大小为，垂直绳子OC方向的速度反映了绳子OC绕O点旋转的快慢。绳子OC的缩短等于A的下降速度，即。 学生出现这一错误，主要是如下原因：想当然的把力的分解应用到速度分解中，而对运动的特点及各方向运动的互相影响不加以考虑。 当然，把沿OC和分解为v1和v2的这种分解方式是正确的，只是但所得到的分速度与已知的速度v之间没有直接的关系，所以代入v1=v计算就出错了！ 可以根据运动的效果对vC进行分解，C物体向上运动的同时使得绳子缩短，也就是在径向向O运动，同时绕O转动，那么把分解到沿OC方向和垂直于OC方向，得到v1和v2，如图8所示。同时，v1和v2也使得绳子在缩短和旋转。此时在合速度和分速度所构成的矢量三角形中，可得，由于为径向速度，与切向速度无关，故，所以，即。 对于此题，我们还可以借用下面这一道十分常见的题的思想，这对学生的理解十分有帮助。 实例：如图9所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量比较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A上升到与竖直杆成角的位置时，B的速度为v，此时A环上升的速度vA为多少？ 解析：该题当然也可以用“微元法”求解，但如果用“速度分解法”求解此题，A物体的分速度能够很好的反映其运动的实际效果。沿