全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试卷答案.docVIP

全国高中数学联赛江苏赛区20年初赛试题班级 姓名 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．复数 ．2．已知直线是圆的一条对称轴，则实数 ，代入直线方程，得． 3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）． ，符号条件的事件数：， 所以所求的概率是：．4．已知，则 ， 得．5．已知向量满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ，则由与的夹角为可取：； 于是可令，； 易知，所求的平行四边形的面积等于，而两点关于对称； 所以；即平行四边形的面积为． 6．设数列的前项和为．若是首项及公比都为2的等比数列，则数列的前项和等于解，从而，； 所以， 所以； 检验可知：当时，也适合上述等式．7．设函数．若，且，则的取值范围是 ；所以； 所以．8．设为数列中小于的项的个数，其中，则 是表示在数列：中小于2011的项数，即； 从而．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 （）的点与正三棱柱的 顶点重合放置，如图所示；正三棱柱的底面是正三角形且 侧棱与底面垂直；可设，则； 因为； 所以； 所以，斜边．10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值 是； 即 ；其中：可取整数，是正整数； 所以，； 所以，； 所以，当时，；当时，；当时，； 故的所有可能的值是30，14，3．有特殊要求） 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．已知圆与抛物线有公共点，求实数的取值范围． 解：设公共点，代入抛物线方程得；………………………………10分 因为，所以． 12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值． 解：由题意函数图为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得故有，从而且若有实根，则在区间有即消去，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上． 所以，上是单调递减故． 13．如图，是内一点（1）若是的内心，证明：； （2）若且，证明：是的内心． 证明：（1） ，…………………………………………………8分 （2）因为是大于的定角，是定线段； 所以点在为弦的圆上， 其中，且劣弧与在的同侧； 同理，点在为弦的圆上， 其中，且劣弧与在的同侧； 所以点是这两个圆的公共点；……………………………………………16分 由（1）可推知，的内心也是这两个圆的公共点； 又点是此两圆的另一个公共点，但不在内， 所以点是内心．4．已知是实数，且存在正整数，使得为正有理数， 使得为有理数． 证明：设，其中为互质的正整数，则 设为任意的正整数，构造， 则． 3 A B C P