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第十四章 曲线积分与曲面积分（高教社刘玉莲361） §14.1 曲线积分 一、第一型曲线积分 首先讨论物质曲线的质量。如果在xy平面上有一条可求长的曲线C，如图14.1，已知曲线C上点（x,y）的线密度是(x,y),求曲线C的质量。 在曲线C上依次任取一组点：A=，，，…，，=B，记为分法T。它们将曲线C分成n个小弧：，，… ，，…，. 设第k个小弧的长是，在其上任取一点（，）。在点的线密度（，）近似代替第k个小弧上每一点的线密度。于是，（，）应是第k个小弧质量的近似值，k=1,2，…，n。它们的和，即应是曲线C质量的近似值。 设（T）是分法T的n个小弧之长中最大者。（T）越小，越接近于曲线C的质量。于是，曲线C的质量m应该是极限 m=. 抽取上式的物理意义就得到第一型曲线积分。 设二元函数（x,y）在xy平面上一条可求长曲线C(A,B)上有定义。用任意分法T，将曲线C依次分成n个小弧： ，，… ，，其中=A，=B。 设它们的弧长分别是，，，…，。在小弧上任取一点（，），k=1，2，…，n，取该点的函数值 (，)与作乘积，然后作和 =, (1) 称为二元函数(x.y)在曲线C（A，B）的积分和。 令（T）=max{，，…，}。 定义 设二元函数（x,y）在可求长曲线C（A，B）有定义。若当（T）→0时，二元函数（x,y）在曲线C（A，B）的积分和（1）存在极限I，即 ==I， 则称I是函数（x,y）在曲线C的第一型曲线积分，记为I=，其中ds是弧长微元。 不难看到，在xy平面上一条物质曲线C（A，B），若其上每一点（x，y）的线密度是（x，y），则物质曲线C的质量m是第一型曲线积分，即 m==. 根据第一型曲线积分定义，不难证明，第一型曲线积分有下述性质（仅列举其中四个性质）： 1．=，即第一型曲线积分与曲线C的方向（由A到B或由B到A）无关。事实上，在积分和（1）中小弧之长与曲线C的方向无关。 2．=. 3．k，其中k是常数. 4．=+. 定理1 若曲线C（A，B）：x=，y=， ,是光滑的，即，在[，]连续，且不同时为零，函数（x,y）在C连续，则函数（x,y）在C（A，B）存在第一型曲线积分，且 =. （2） 证明 给区间[，]任意分法T，分点依次是.第k个小区间[]对应曲线C上第k个小弧，设其长是.由§8.5弧长公式与定积分中值定理，有=dt=，其中=，.在[]上任取一点,在曲线C上对应点是P（）.作和 ==. （3） 注意上面等式中与都属于[]，但是不一定相等。为此将它改写为 =+， （4） 其中=- . (4)式第一个和数是连续函数在区间[，]的积分和。 因此，有 =. 下面证明. 事实上，已知函数在闭区间[，]连续，从而它在[，]有界；函数在闭区间[，]连续，从而一致连续。即,有 ||. 又，，），有 |-|. 于是，当时，有||. |-|||=, 即 . 当时，有.当时，（4）式存在极限，即函数（x,y）在曲线C上存在第一型曲线积分，即 =. （2）式将第一型曲线积分化成了定积分，它就是计算第一型曲线积分的公式。 特别地，曲线C（A，B）是由方程y=y(x)给出，且（x）在[a，b]连续时，（2）式是=. （5） 计算，其中C：x=acos t，y=bsin t，. 解 ，t. dt. 由公式（2），有 I=dt=dt. 设，或，有 例2 计算，其中C是圆周，. 解 如图14.2. . ：， ：. ， . 由公式（5），有 设三维欧式空间有一条可求长的曲线C（A，B）。函数在曲线C有定义。可仿照平面（二维空间）第一型曲线积分定义给函数在空间曲线C上的第一型曲线积分 （6） 的定义，其中ds是空间曲线C的弧长微分。 若三维欧式空间中光滑曲线C的参数方程 ， 则三维欧式空间中