2016北师大版选修1-1高中数学第4章“导数应用”章末归纳总结课件.pptVIP

1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与其导数的正负的关系： 如果f′(x)0，那么函数在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数在这个区间内单调递减；如果f′(x)＝0，那么函数在这个区间内为常数． 2．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件，如果出现个别点使得f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．所以在已知函数的单调性，求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到，也就是导数值为零的点需要单独验证，以免出错． 注意：当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 3．(1)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较陡峭(向上或向下)；反之，函数的图像就平缓一些． (2)f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．在区间(a，b)上，如果f′(x)0，则切线倾斜角为锐角，曲线呈向上增加状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，则切线倾斜角为钝角，曲线呈向下减少状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递减． 4．(1)根据极值的定义可知，在可导函数中，若x0为极值点，则必有f′(x0)＝0(此结论常用来求参数)，但f′(x0)＝0时，x0不一定为极值点，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点．如函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但x＝0却不是极值点． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值时，将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (3)如果函数y＝f(x)的图像是区间[a，b]上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则 ①f(x)在[a，b]上必有最值点． ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． (4)有关函数零点个数的问题，可以根据函数的单调性、极值和最值，利用数形结合的思想方法，借助函数图像判断函数零点的个数． 5．(1)已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法．通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围． (2)对于证明f(x)≥(或≤)m恒成立的问题，可以转化为证明相应函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的问题． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x－1， 则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x∈(－1,3)时，f′(x)0，故f(x)在(－1,3)上为减函数； 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数． 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3). 1.应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符号． 若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值． 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． [解析]　(1)因为f ′(x)＝3x(x－a)，所以有： 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)； 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(a,0)； 当a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上递增； 已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′