7.3等比数列的前n项及.docVIP

资源信息表 标 题: 7.3（3）等比数列的前n项和（1） 关键词: 等比数列、前n项和、数学模型 描 述: 教学目标 1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法； 2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用； 3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力； 4．进一步树立理论联系实际的观点． 教学重点及难点 重点:等比数列的前n项和公式及其初步应用． 难点:等比数列的前n项和公式的推导． 学 科: 高中二年级数学第一册7.3（3） 语 种: 汉语 媒体格式: 教学设计.doc 学习者: 学生 资源类型: 文本类素材 教育类型: 高中教育高中二年级 作 者: 田万国 单 位: 上海市建平中学 地 址: 崮山路517号（200135） Email: towerg@ 7．3（3） 等比数列的前n项和（1） 上海市建平中学 田万国 一、教学内容分析 《数列》是高中数学的重要内容之一．学习了数列的概念、等差数列的通项公式和前n项的求和公式、等比数列的通项公式等知识内容后，为过渡到本节的学习起着铺垫作用．研究等比数列前n项和的公式完整了数列体系，又为进一步学习数列求和、数列的极限等内容打下基础，有承前启后的作用．数列是函数的延续，它实质上是可以看作为一种特殊的函数，函数思想同样在本节渗透．等比数列求和在产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算中有着广泛的实际应用．学习数列需要观察、分析、猜想及综合运用其它知识解决数列中的一些问题，有利于学生数学能力的提高，是培养提高学生思维能力的好题材． 二、教学目标设计 1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法； 2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用； 3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力； 4．进一步树立理论联系实际的观点． 三、教学重点及难点 重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用． 难点：等比数列的前n项和公式的推导． 四、教学用具准备 实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 1、引入 印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事． 相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了． 问国王将会给发明者多少粒麦粒？ [说明] 以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用． （2）建立数学模型．求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？ 实际是计算1+2+4+8+…+（=）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和． 求解数学模型．观察上式的特点，启发学生找到解决问题的 方法．与等差数列类比．在推导等差数列的前n项和时，充分利用了公差，即， …，；另外又可以写为，，…，，这才有了逆序相加法． 那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？ 方法一：每一项乘以2后都得到它的后一项． =1+2+4+8+…+，2=2+4+8+…++，两式右边有62项 相同． 相减，得 方法二：逆向思考，提取2，就得到前一项． =1+2+4+8+…+=1+2= 解得， 据查每千克小麦约10万粒，约吨．2004年世界粮食总产量为吨，因此相当于当今世界82年的粮食总产量． [说明] 解决问题的关键是意识到的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和． （4）反思抽象．以上解决了一个特殊等比数列前几项的和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决． [说明] 问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力． 一般地，设等比数列的公比为，则 （5）解决问题．从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试． [说明] 板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系． 方法一：， 相减，得，即 当时， 当时，，则 方法二： = 即， 当时， 当时，，则 （方法一和方法二完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程．） （6）讨论探究．同学们还有其它的解法吗？ [说明] 引起学生求胜心，激发积极性．启发引导学生自行完成． 由等比数列的定义，得，运用比例的性质， ，即 当时， 当时，，则 概念分析 （1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法．要勤思考． （2）方法一称为错位相减法．这是一种重要的解题方法，不仅仅