2016新课标三维人教A版数学选修2_32.3离散型随机变量均值与方差.docVIP

　 2．3．1　离散型随机变量的均值 预习课本P60～63，思考并完成以下问题 1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？ 2．离散型随机变量的均值有什么性质？ 3．两点分布、二项分布的均值是什么？ 　　　　 1．离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 3．两点分布与二项分布的均值 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p； (2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np． [点睛]　两点分布与二项分布的关系 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点：随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1, 二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2，…，n． 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验． 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A．　　　　　　　　 　B．2 C． D．3 答案：A 3．设随机变量X～B(16，p), 且E(X)＝4, 则p＝________． 答案： 4．一名射手每次射击中靶的概率均为0．8, 则他独立射击3次中靶次数X的均值为________． 答案：2．4 求离散型随机变量的均值 [典例]　某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ)． [解]　(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝． P(A··)＝P(A)P()P()＝××＝． 故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是． (2)ξ的可能取值为0,1,2,3． P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3． P(ξ＝0)＝C×0×3＝； P(ξ＝1)＝C××2＝； P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝． 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X)． 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．　　　　　　[活学活用] 1．甲、乙两人各进行3次射击， 甲每次击中目标的概率为， 乙每次击中目标的概率为， 记甲击中目标的次数为X, 乙击中目标的次数为Y， (1)求X的概率分布列； (2)求X和Y的数学期望． 解：(1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3． P(X＝k)＝Ck3－k． 则P(X＝0)＝C×3＝； P(X＝1)＝C××2＝； P(X＝2)＝C×2×＝； P(X＝3)＝C×3＝． 所以X的概率分布列如下表： X 0 1 2 3 P (2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．5，或由题意X～B，Y～B， E(X)＝3×＝1．5，E(Y)＝3×＝2． 2．某运动员投篮投中的概率P＝0．6． (1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望． (2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望． 解：(1)ξ的分布列为： ξ 0 1 P 0．4 0．6 则E(ξ)＝0×0．4＋1×0．6＝0．6， 即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0．6． (2)η服从二项分布，即η～B(5,0．6)． E(η)＝np＝5×0．6＝3， 即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3． 离散型随机变量均值的性质 [典例]　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________． [解析]　由随机变