2014届数学5.4平面向量应用.docVIP

[来源:] A组　专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 答案　A 解析　因为非零向量与满足·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC. 又cos∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝. 所以△ABC为等边三角形． 2． 已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4·2|b|·|b|cos θ＝0， ∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3． 已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 答案　B 解析　由题意知：－＝λ， 即＋＝λ，∴＝λ，即与共线， ∴点P在AC边所在直线上． 4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________. 答案　 解析　由题意知·＋·＝2， 即·－·＝·(＋) ＝2＝2c＝||＝. 6． 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________． 答案　3 解析　＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)， ∴·＝x＋y，·＝y， 即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，zmax＝3. 7． 已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________. 答案　150° 解析　∵·0，∴∠BAC为钝角， 又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. ∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°. 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明　建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)， E(x，y)． ∵D是BC的中点，∴D. 又∵＝2， 即(x－a，y)＝2(－x，a－y)， ∴解得x＝，y＝a. ∵＝－(a,0)＝， ＝＝， ∴·＝(－a)×＋a× ＝－a2＋a2＝0. ∴⊥，即AD⊥CE. 9． (12分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若x＝，求向量a与c的夹角； (2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值． 解　(1)设a与c的夹角为θ，当x＝时， a＝，cos θ＝ ＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)f(x)＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 又x∈，∴2x－∈. ∴当2x－＝，即x＝时， f(x)的最大值为×＝1. B组　专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设∠AOB＝θ，那么cos θ＝， 则sin θ＝＝， 那么△OAB的面积 S＝|a||b|·sin θ ＝|a||b|· ＝. 2.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　·＝·(－)＝·－·， 因为OA＝OB，所以在上的投影为||， 所以·＝||·||＝2， 同理·＝||·||＝， 故·＝－2＝. 3． 已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D为BC边的中点，则||等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由题意知：||＝|＋| ＝|2m－2n|＝|m－n|＝＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分) 4. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中