2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试卷01.docVIP

2014年高中数学联赛初赛试题姓名中，分别是角所对边的边长，若， 则的值是_______________ 2．函数的最小值是_______________ 3．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段 为直径的两圆的位置关系一定是_______________ 4．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该 方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为____________ 5．设是的任一排列，是到的映射，且满足， 记数表；若数表的对应位置上至少有一个不同，就说 是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为___________ 6．函数的最大值与最小值之差等于___________ 7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的 立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有_________条． 8．设，其中满足， 则的最小值为______________ 9．设内接于半径为的⊙，且，为底边上的高，则的最大值 为_______________ 10．设为整数，集合中的数由小到大组成数列： ，则_______________ 二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． 11．已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上， 求此正方形的边长． 12．设实数满足条件，，其中， 求的最大值． 13．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心； 求证：． 14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数； 考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同． 我们说“同学比的成绩好”，是指“同学的语文、数学成绩都不低于”． 证明：存在三个同学、、，使得同学比同学的成绩好，同学比的成绩好． 2014年高中数学联赛初赛试题中，分别是角所对边的边长，若， 则的值是 解：由得，； 即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知， 且，从而，∴；∴． 2．函数的最小值是 解：； 令，则，故最小值为． 3．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系一定是 解：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆的位置关系一定是内切． 4．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为 解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3个满足题意的“漂亮方程”，共有12个． 5．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表；若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表；则满足条件的不同的数表的张数为 解：对于的一个排列，可以9个映射满足，而共有个排列， 所以满足条件的数表共有张． 6．函数的最大值与最小值之差等于 解：，从而当时，取最大值； 当时，取最小值0，从而最大值与最小值之差等于． 7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的 立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有条． 解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线， 共，其中所有的棱都在原立方体的表面， 有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条， 6个面共有120条线都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部． 8．设，其中满足，则的最小值为 解：由，得； 又 9．设内接于半径为的⊙，且，为底边上的高，则的最大值 为 解：设，则；，， ，其中； ∴的最大值为． 10．设为整数，集合中的数由小到大组成数列： ，则 解：∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有； ，可在中取，符合条件有的数有； 同理，时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有； 时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有； ∴是中的最小值，即． 二、解答题： 11．已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上， 求此正方形的边长． 解：设两点坐标分别为、，显然；∵，∴，即； 一方面，， ∴ ① 另一方面，，∴ ② 将①代入②，得，即；故或． 12．设实数满足条件，，其中， 求的最大值． 解：，∴； ，从而，； ， 当且仅当，，时等号成立； 即，，时，有最大值：． 13．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心； 求证：． 证明：如图，连结和，∵，；∴， 又∵，∴；延长交于，连结； ∵，∴四点共圆； ∴，即； 又∵，∴，