2.5指数(第1课时).docVIP

指数（第一课时） ? 在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念，即正整数指数幂，零指数和负整数指数幂．在数学史上最早使用指数符号的是法国数学家笛卡儿，他于1637年用an表示正整数指数幂，用a3代表a·a·a,用a4代表a·a·a·a．分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数幂符号的是荷兰工程师司蒂文．以后又有人将其拓广到负指数．直到18世纪初，英国数学家牛顿开始用an表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数． 在过去，我们学习整数指数幂时要特别注意：零的零次幂没有意义；零的负数次幂没有意义．同时，我们还学习了整数指数幂的运算性质（见课本P70），那么分数指数幂的意义是什么？有什么样的运算性质呢？ ? 【学习目标】 1．能准确理解n次方根的定义，会用根式记号表示n次方根． 2．理解方根的性质，能利用根式的意义进行根式的化简与运算． ? 【学习障碍】 本节课是学习指数的起始课，在学习中会遇到下列障碍： 1．对根式概念的理解有些混乱． 2．对于开方和乘方的关系认识不清． 3．对于根式记号的理解不全面，比如：①n∈N,且n＞1，②当n为奇数、偶数时的分类讨论；③a的正负与n的关系等． ? 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．阅读课本P66~70,对指数这一节有一个整体的认识． 2．本节课重点：利用根式的性质运算．运算涉及的东西较多，很灵活，需要很强的观察力和对数式的操纵能力． 本节课的难点：对根式概念的理解． 3．重点基础知识： 根式：一般地，如果一个数的n次方等于a（n＞1,且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根．当n为奇数时，a的n次方程只有一个根，用符号表示；当n是偶数时，正数a有两个n次方根且互为相反数；正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．注意一些数学名称：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 性质：当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 整数指数幂 整数指数运算法则：am·an＝am＋n,am÷an＝am－n．（am）n＝amn,（）n＝,（ab）m＝ambm（这里a＞0,b＞0，m,n∈R）．特别注意：＝0, （）n＝a（a必须使有意义）,＝|a|注意区别． 4．学习本小节时应注意：根式概念，指数概念在初中已有所涉及，应先认真复习平方根、立方根的概念与性质，复习整数指数幂的意义和运算性质，为本节的学习打好基础，要注意运用对比的方法，学好本节知识．将n次方根的定义与平方根、立方根的定义作比较；将n次根式符号与二次根式、三次根式记号比较；立方根的性质与平方根的性质比较，在对比中加深对概念的理解． Ⅱ．知识拓宽 对于根式记号要深刻理解以下几点：①n∈N,且n＞1．②当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内惟一的一个n次方根，（）n＝a． ③当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a＜0时无意义，（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－,（±）n＝a．④式子对任意a∈R都有意义．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝． Ⅲ．障碍分析 1．如何理解n次方根的概念？ 对于n次方根概念的理解，按照从特殊到一般，再由一般回到特殊的学习方法：从平方根、立方根推广到n次方根．再由n次方根的意义对应到某个题目中的n为具体数．也可以换一种方式来理解，若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？ 即x＝这个回答是不完整的．应该是这样的： x＝ 2．（）n与的区别与联系． 前面已经做出回答． Ⅳ．思维拓展 ［例1］化简． 点评：注意讨论x＋y的正负． ［例2］已知4x2－4x－15≤0，化简：． 思路：运用配方法、公式法． 解：∵4x2－4x－15≤0, ∴－≤x≤ ∴2x＋3≥0,2x－5≤0故 ＝＝|2x＋3|＋|2x－5|＝2x＋3＋5－2x＝8 点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，其解题方法是：先求出条件对字母的限制范围，在此范围内，依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论．如本例去掉已知条件，直接化简，则应当分x＜－,－≤x≤，x＞三种情况讨论． Ⅴ．探究学习 计算． ? 参考答案： 原式＝ ＝ ＝（＝0 【同步达纲练习】 一、选择题 1．已知a,b∈R,则等式（a－b）·＝－（b－a）2成立的条件是 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b 2．下列运算正确的是 A．（－a2）3＝（－a3）2 B．（－a2）3＝－a5 C．（－a2）3＝a5 D．（－a2）3＝－a6 3．设n∈N*,则［1－（－1）n］·（n2－1）的值 A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数 4．若102x＝25，则10－x等于 A．－ B． C． D． ?