1已知椭圆中心在坐标原点.docVIP

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1已知椭圆中心在坐标原点

1已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若P为左准线l上的动点,使∠F1PF2最大的点P的坐标 2设是两个定点,且,动点到点的距离是,线段的垂直平分线交于点,求动点的轨迹方程. 解:(1).因为|MA1|:|A1F1|=2:1 则由椭圆的第二定义,椭圆上点A1到左焦点的距离与它到左准线的距离的比是1:2 所以椭圆的离心率e=c/a=1/2 又椭圆的长轴长2a=4,则a=2 所以c/2=1/2 解得c=1,b2=a2 -c2 =3 又椭圆的焦点在x轴上 所以椭圆的方程为x2/4 + y2/3 =1 (2).由(1)知椭圆左焦点F1(-1,0),右焦点F2(1,0),焦距|F1F2|=2 左准线l的方程为x=-a2/c=-4 则可设l上动点P坐标是(-4,y) 有|PF1|=√[(-4+1)2+y2]=√(9+y2),|PF2|=√[(-4-1)2+y2]=√(25+y2) 当y=0时,点P在x轴上,此时F1PF2=0° 当y≠0时,在PF1F2中,由余弦定理可得: cosF1PF2=(|PF1|2+|PF1|2-|F1F2|2)/(2|PF1|*|PF1|) =[(9+y2)+(25+y2)-4]/[2*√(9+y2) *√(25+y2)] =(15+y2)/[√(9+y2) *√(25+y2)] 令t=15+y2,(t15) 则cosF1PF2=t/√[(t-6)(t+10)] =t/√(t2+4t-60) =1/√(1+4/t -60/t2) =1/√{-60[1/t2 -1/(15t) +(1/30)2-(1/30)2]+1} =1/√[-60*(1/t -1/30)2+16/15] 所以当1/t=1/30即t=30也就是y=±√15时, cosF1PF2有最小值15/16 即F1PF2的最大值为arccos(15/16)≈20.3641°

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